На доске записан натуральные числа от 10 до 30 на каждом шаге стираются любые и два числа записаны на доске а вместо них записывается число на два больше их суммы какое число…

Рассмотрим задачу: у нас есть числа от 10 до 30, записанные на доске, и по шагам мы стираем два числа, а вместо них записываем число, которое равно их сумме + 2. Нужно определить, какое число останется на доске после 20 таких шагов.

Шаг 1. Определим начальный набор чисел и их сумму:

Исходные числа — это все натуральные числа от 10 до 30 включительно:

\[ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 \]

Общее их количество: \( 30 - 10 +1 = 21 \)

Шаг 2. Вычислим начальную сумму всех чисел:

\[ \text{сумма} = 10 + 11 + 12 + \dots + 30 \]

Это арифметическая прогрессия:

• Первый член \(a_1=10\)
• Последний член \(a_{21}=30\)
• Количество членов \(n=21\)

Сумма по формуле:

\[ S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{21}{2} (10 + 30) = \frac{21}{2} \times 40 = 21 \times 20 = 420 \]

Изначальная сумма — 420.

Шаг 3. Что происходит за каждый ход?

На каждом шаге:

• Выбираются два числа: \(a\) и \(b\).
• Они удаляются со доски.
• Вместо них записывается число \(a + b + 2\).

Деньги на доске просто меняются — при этом важно понять, как меняется сумма.

Шаг 4. Анализ изменения суммы за один ход

До хода на доске есть сумму: \(S_{\text{до}}\).

Выбираем два числа \(a, b\), их сумма — \(a + b\).

После замены двух чисел на \(a + b + 2\), сумма изменится:

\[ S_{\text{после}} = S_{\text{до}} - a - b + (a + b + 2) = S_{\text{до}} + 2 \]

Итог

• Сумма увеличивается на 2 за каждый ход.

Шаг 5. Определим итоговую сумму после 20 шагов

• Начальная сумма: 420
• За 20 шагов сумма увеличится на \(20 \times 2 = 40\):

\[ S_{\text{итог}} = 420 + 40 = 460 \]

Шаг 6. Какие числа останутся после всех шагов?

Поскольку в каждом шаге из двух чисел, \(\text{зная, что их сумма увеличивается на 2}\), в конце останется один число — число, которое равняется итоговой сумме.

Итого, после всех 20 шагов на доске останется одна единственная цифра, равная сумме всех чисел после последнего шага — 460.

Ответ:

На доске останется число 460.