Рассмотрим задачу: у нас есть числа от 10 до 30, записанные на доске, и по шагам мы стираем два числа, а вместо них записываем число, которое равно их сумме + 2. Нужно определить, какое число останется на доске после 20 таких шагов.
Шаг 1. Определим начальный набор чисел и их сумму:
Исходные числа — это все натуральные числа от 10 до 30 включительно:
[ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 ]
Общее их количество: ( 30 - 10 +1 = 21 )
Шаг 2. Вычислим начальную сумму всех чисел:
[ \text{сумма} = 10 + 11 + 12 + \dots + 30 ]
Это арифметическая прогрессия:
- Первый член (a_1=10)
- Последний член (a_{21}=30)
- Количество членов (n=21)
Сумма по формуле:
[
S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{21}{2} (10 + 30) = \frac{21}{2} \times 40 = 21 \times 20 = 420
]
Изначальная сумма — 420.
Шаг 3. Что происходит за каждый ход?
На каждом шаге:
- Выбираются два числа: (a) и (b).
- Они удаляются со доски.
- Вместо них записывается число (a + b + 2).
Деньги на доске просто меняются — при этом важно понять, как меняется сумма.
Шаг 4. Анализ изменения суммы за один ход
До хода на доске есть сумму: (S_{\text{до}}).
Выбираем два числа (a, b), их сумма — (a + b).
После замены двух чисел на (a + b + 2), сумма изменится:
[
S_{\text{после}} = S_{\text{до}} - a - b + (a + b + 2) = S_{\text{до}} + 2
]
Итог
- Сумма увеличивается на 2 за каждый ход.
Шаг 5. Определим итоговую сумму после 20 шагов
- Начальная сумма: 420
- За 20 шагов сумма увеличится на (20 \times 2 = 40):
[
S_{\text{итог}} = 420 + 40 = 460
]
Шаг 6. Какие числа останутся после всех шагов?
Поскольку в каждом шаге из двух чисел, (\text{зная, что их сумма увеличивается на 2}), в конце останется один число — число, которое равняется итоговой сумме.
Итого, после всех 20 шагов на доске останется одна единственная цифра, равная сумме всех чисел после последнего шага — 460.
Ответ:
На доске останется число 460.
