На дворе была сделана цветочная клумба, состоящая из квадрата и четыре полукругов. Площадь клумбы равна 490 квадратных метров. Сколько метров декоративного забора необходимо…

Давайте подробно разберем задачу и найдем длину необходимого забора и радиус полукругов.

Дано:

• Общая площадь клумбы: 490 м².
• В клумбе — квадрат и 4 полукруга.
• Число π = 3.

Задача для определения:

1. Радиуса полукругов.
2. Общей длины забора (окружности вокруг клумбы).

---

Шаг 1. Обозначение переменных

• Пусть сторона квадрата — \( a \).
• Радиус каждого полукруга — \( r \).

Для облегчения обозначим:

• Площадь квадрата: \( A_{квадрата} = a^2 \).
• Площадь 4 полукругов: они образуют целый круг вместе, поэтому суммарная площадь 4 полукругов равна площади полного круга радиуса \( r \).

---

Шаг 2. Площадь полукругов

Площадь одного полукруга: \[ A_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 \] Тогда сумма площадей четырех полукругов: \[ 4 \times \frac{1}{2} \pi r^2 = 2 \pi r^2 \] Используя π=3: \[ 2 \times 3 \times r^2 = 6 r^2 \]

---

Шаг 3. Общая площадь клумбы

Суммарная площадь: \[ A_{общая} = a^2 + 6 r^2 \] Из условия: \[ a^2 + 6 r^2 = 490 \]

---

Шаг 4. Связь между квадратом и полукругами

Задача подразумевает, что форма всего комплекса (квадрат + 4 полукруга) — объединенный объект, вероятно, с общим внешним периметром, где полукруги расположены по сторонам квадрата.
Для определения радиуса \( r \), исходя из формы, предположим, что каждый полукруг присоединен к стороне квадрата по всему периметру.

Это означает, что:

• Каждая сторона квадрата соединяется с полукругом, длина которого равна диаметр полукруга: \( 2 r \).
• Общая периметральная длина (забор) будет состоять из сторон квадрата и дуг полукругов.

---

Шаг 5. Длина окружности полукругов

Длина дуги одного полукруга:

\[ L_{дуга} = \pi r \]

Так как у нас 4 полукруга, сумма длины всех дуг:

\[ L_{дуг} = 4 \times \pi r = 4 \times 3 \times r = 12 r \]

---

Шаг 6. Общая длина забора

Предположим, что забор идет по внешней границе всей клумбы, то есть по периметру квадрата и дугам полукругов.

Если клумба плоская фигура, то общая длина забора равна периметру фигуры, объединяющей все части.
В этом случае это:

\[ P_{клумбы} = 4a + \text{длина дуг полукругов} \]

Поскольку дуги идут по внешней кромке, то длинны дуг совпадают с длиной внешней границы.

---

Шаг 7. Связь между радиусом и стороной квадрата

Дано, что радиус \( r \) и сторона квадрата связаны так, что длины дуг полукругов должны соответствовать сторонам или периметру.

Исходя из предположения, что полукруги расположены по сторонам квадрата, возможное соотношение — сторона квадрата равна диаметру полукруга:

\[ a = 2 r \]

---

Шаг 8. Подставим \( a = 2r \) в уравнение площади

\[ a^2 + 6 r^2 = 490 \] \[ (2 r)^2 + 6 r^2 = 490 \] \[ 4 r^2 + 6 r^2 = 490 \] \[ 10 r^2 = 490 \] \[ r^2 = 49 \] \[ r = 7 \]

Радиус полукругов равен 7 метрам.

---

Шаг 9. Подсчет длины забора

Периметр квадрата: \[ 4a = 4 \times 2r = 4 \times 14 = 56\, \text{метров} \]

Длина дуг полукругов: \[ 12 r = 12 \times 7 = 84\, \text{метров} \]

Общая длина забора (при условии, что забор — по внешней границе всей клумбы, включающей квадрарт и полукруги):

\[ \boxed{ 56 + 84 = 140\, \text{метров} } \]

---

Итог:

• Радиус полукругов: 7 метров.
• Общая длина забора: 140 метров.

Если хотите уточнений или есть другие предположения по форме, скажите!