-7sin2x-24cos2x

Разберем выражение: \(-7 \sin 2x - 24 \cos 2x\).

Цель — понять, как упростить или представить это выражение в более удобной форме.

Шаг 1. Общий вид выражения

Это линейная комбинация синуса и косинуса одного и того же аргумента \(2x\):

\[ A \sin 2x + B \cos 2x, \] где \(A = -7\), \(B = -24\).

Шаг 2. Использование тригонометрической формулы

Выражение вида:

\[ A \sin \theta + B \cos \theta \] может быть представлено как:

\[ R \sin(\theta + \alpha), \] где:

• \( R = \sqrt{A^2 + B^2} \),
• \(\alpha\) — такой угол, что: \[ \sin \alpha = \frac{B}{R}, \quad \cos \alpha = \frac{A}{R}. \]

Шаг 3. Вычисление \( R \)

\[ R = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25. \]

Шаг 4. Определение \(\alpha\)

Так как:

\[ \sin \alpha = \frac{B}{R} = \frac{-24}{25}, \] \[ \cos \alpha = \frac{A}{R} = \frac{-7}{25}. \]

Значит, \(\alpha\) — угол, у которого синус равен \(-\frac{24}{25}\), а косинус — \(-\frac{7}{25}\). Такой угол находится в третьей или четвертой четверти, поскольку оба значения отрицательны.

Итоговая форма

Выражение можно переписать как:

\[ -7 \sin 2x - 24 \cos 2x = R \sin(2x + \alpha), \]

где

\[ R = 25, \] и \(\alpha\) — угол, для которого:

\[ \sin \alpha = -\frac{24}{25}, \quad \cos \alpha = -\frac{7}{25}. \]

Значит, ответ:

\[ \boxed{ -7 \sin 2x - 24 \cos 2x = 25 \sin(2x + \alpha), } \] где \(\alpha\) — угол, определяемый по соотношениям выше (можно оставить в виде синуса и косинуса).

Если нужно, можно оставить ответ именно в этом виде или найти \(\alpha\) через арксинус или арккосинус, но такой точный угол обычно не требуется — главное понимание, что выражение — это синус с некоторым сдвигом.