y=|x|x-|x|-2x
Конечно! Давайте подробно разберем задачу:
\[ y = |x| \cdot x - |x| - 2x \]
Цель — понять, как упростить это выражение и исследовать его свойства.
Шаг 1. Анализ выражения — учёт знака \(x\)
Так как есть абсолютное значение \(|x|\), удобно рассмотреть два случая:
- Случай 1: \( x \ge 0 \)
- Случай 2: \( x < 0 \)
Шаг 2. случай 1: \( x \ge 0 \)
Когда \( x \ge 0 \), \( |x| = x \). Тогда:
\[ y = |x| \cdot x - |x| - 2x = x \cdot x - x - 2x = x^2 - x - 2x \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ y = x^2 - 3x \]
Ответ в этом случае:
\[ \boxed{ y = x^2 - 3x, \quad \text{при } x \ge 0 } \]
Шаг 3. случай 2: \( x < 0 \)
Когда \( x < 0 \), \( |x| = -x \). Тогда:
\[ y = |x| \cdot x - |x| - 2x = (-x) \cdot x - (-x) - 2x \]
Выполним умножение:
\[ (-x) \cdot x = -x^2 \]
И далее:
\[ y = -x^2 + x - 2x = -x^2 - x \]
Ответ в этом случае:
\[ \boxed{ y = -x^2 - x, \quad \text{при } x < 0 } \]
Итог
Объединяя оба случая, получаем общее выражение для функции:
\[ \boxed{ y = \begin{cases} x^2 - 3x, & x \ge 0 \\ - x^2 - x, & x < 0 \end{cases} } \]
Шаг 4. анализ графика и свойства функции
- При \( x \ge 0 \), \( y = x^2 - 3x \) — парабола с ветвями вверх.
- При \( x < 0 \), \( y = -x^2 - x \) — парабола с ветвями вниз.
Шаг 5. дополнительные наблюдения
Можно найти точки пересечения по границам, например, при \( x=0 \):
\[ y(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 = 0 \]
и при \( x \to 0^- \):
\[ y = -0^2 - 0 = 0 \]
Точки совпадают, график "сплавляется" в точку \( (0, 0) \).
Если нужно, я могу помочь построить график или найти конкретные значения для определенных \(x\). Понимаешь ли ты теперь, как рассматривать такие выражения с абсолютными значениями?
