Два равных отрезка M K MK и F G FG являются хордами окружности с центром Q Q . Определи градусную меру дуг с концами F F и G G , если угол M Q K MQK равен 99 ° 99° . Запиши в…

Рассмотрим задачу. Имеются две хорды MK и FG, обе проходят через центр окружности Q, то есть являются диаметрами окружности. Также известно, что угол MQK равен 99°, и нужно найти градусные меры дуг, ограниченных этими концами.

Общее понимание:

• В окружности, проходящей через центр Q, диаметр делит окружность на две дуги по 180°.
• Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на диаметр, равны половине дуги, которую они опирают.
• Так как MK и FG — диаметры, то точки M, K и F, G лежат на окружности, а Q — центр окружности.

Пусть дуга, которая ограничена точками F и G, есть меньшая дуга, а дуга, ограниченная точками M и K, — большая дуга.

Обозначения:

• Меньшая дуга FG — x градусов
• Большая дуга MK — 360° – x градусов (так как сумма дуг по окружности 360°)

Рассмотрим треугольник МQK, где Q — центр окружности, а M и K — точки диаметра.

Поскольку M и K — концовые точки диаметра, угол MQK — вписанный угол, опирающийся на дугу, противную им. Тогда:

• угол MQK равен половине дуги, которая не содержит точку источника этого угла.

Но важнее заметить:

• Углы, образованные диаметром, равны 90°, поскольку это свойства вписанных углов, опирающихся на диаметр.

Однако в задаче сумма внутреннего угла в треугольнике MQK равна 180°, а угол MQK уже задан как 99°.

Расстереваем:

• В треугольнике MQK угол при Q равен 99°, а остальные углы — это углы при M и K.

Поскольку M и K лежат на окружности, а MQ и KQ — радиусы, стороны QM и QK равны радиусу R окружности. Также, точки M и K — противолежащие концам диаметра, и угол при центре Q между радиусами MQ и KQ равен 180°, а угол в треугольнике, образованный этими радиусами и дугой — 180°, и дуга, она связана с вписанными углами.

Вернёмся к углу MQK: он равен 99°.

• В теории, в окружности вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Так как угол MQK находится у вершины K, он опирается на дугу, которая не включает K.

Рассчитаем дугу, соответствующую углу 99°:

• Если угол при вершине опирается на дугу без этой вершины, то он равен половине дуги, противной этой вершине.

Из свойств:

• В окружности, вписанный угол равен половине дуги, противной ему.

Угол MQK — 99°, он опирается на дугу, противоположную ей.

Итак, дуга, которая соответствует углу 99°, равна:
\[ 2 \times 99° = 198° \]

Значит, дуга, не содержащая точки K, равна 198°.

• Тогда меньшая дуга FG — это дуга, которая равна 360° минус дуга, содержащая K.

Поскольку точки F и G — на окружности, а их хордовые отрезки FG — хорды, и нам нужно найти градусные меры дуг с концами F и G, то теми меньшими и большими дугами, которые они образуют.

Поскольку FG — хорда, и F,G — конца этой хорды, меньшая дуга, ограниченная F и G, будет:

\[ \text{Меньшая дуга} = \text{дуга, которая равна} \; x° \]

и более длинная будет равна \( 360° - x° \).

Вывод:

• Угол, равный 99°, опирается на дугу 198°, так как он в два раза меньше этой дуги.
• Остающаяся дуга вокруг окружности — это 360°.

Итог:

• Градусная мера меньшей дуги (F и G): 99°. (потому что это дуга, на которую опирается угол или она равна 2×99°, то есть 198°, тогда меньшая дуга — 99°).

• Градусная мера большей дуги (M и K): 180° или 360° минус меньшая, в зависимости от положения.

Однако, по условию, у нас есть, что угол MQK = 99°, и мы использовали, что она равна половине дуги, которая равна 198°, то есть меньшая дуга (F,G) равна 99°, а большая — \( 360° - 99° = 261° \).

Ответ:

Градусная мера меньшей дуги: 99
Градусная мера большей дуги: 261