Два равных отрезка  M K MK и  F G FG являются хордами окружности с центром  Q Q. Определи градусную меру дуг с концами  F F и  G G, если угол  M Q K MQK равен  99 ° 99°. Запиши в каждое поле ответа верное число. Градусная мера меньшей дуги:  ° °. Градусная мера большей дуги:  ° °.

Рассмотрим задачу. Имеются две хорды MK и FG, обе проходят через центр окружности Q, то есть являются диаметрами окружности. Также известно, что угол MQK равен 99°, и нужно найти градусные меры дуг, ограниченных этими концами. Общее понимание: - В окружности, проходящей через центр Q, диаметр делит окружность на две дуги по 180°. - Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на диаметр, равны половине дуги, которую они опирают. - Так как MK и FG — диаметры, то точки M, K и F, G лежат на окружности, а Q — центр окружности. Пусть дуга, которая ограничена точками F и G, есть меньшая дуга, а дуга, ограниченная точками M и K, — большая дуга. Обозначения: - Меньшая дуга FG — x градусов - Большая дуга MK — 360° – x градусов (так как сумма дуг по окружности 360°) Рассмотрим треугольник МQK, где Q — центр окружности, а M и K — точки диаметра. Поскольку M и K — концовые точки диаметра, угол MQK — вписанный угол, опирающийся на дугу, противную им. Тогда: - угол MQK равен половине дуги, которая не содержит точку источника этого угла. Но важнее заметить: - Углы, образованные диаметром, равны 90°, поскольку это свойства вписанных углов, опирающихся на диаметр. Однако в задаче сумма внутреннего угла в треугольнике MQK равна 180°, а угол MQK уже задан как 99°. Расстереваем: - В треугольнике MQK угол при Q равен 99°, а остальные углы — это углы при M и K. Поскольку M и K лежат на окружности, а MQ и KQ — радиусы, стороны QM и QK равны радиусу R окружности. Также, точки M и K — противолежащие концам диаметра, и угол при центре Q между радиусами MQ и KQ равен 180°, а угол в треугольнике, образованный этими радиусами и дугой — 180°, и дуга, она связана с вписанными углами. Вернёмся к углу MQK: он равен 99°. - В теории, в окружности вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. - Так как угол MQK находится у вершины K, он опирается на дугу, которая не включает K. Рассчитаем дугу, соответствующую углу 99°: - Если угол при вершине опирается на дугу без этой вершины, то он равен половине дуги, противной этой вершине. Из свойств: - В окружности, вписанный угол равен половине дуги, противной ему. Угол MQK — 99°, он опирается на дугу, противоположную ей. Итак, дуга, которая соответствует углу 99°, равна: \[ 2 \times 99° = 198° \] Значит, дуга, не содержащая точки K, равна 198°. - Тогда меньшая дуга FG — это дуга, которая равна 360° минус дуга, содержащая K. Поскольку точки F и G — на окружности, а их хордовые отрезки FG — хорды, и нам нужно найти градусные меры дуг с концами F и G, то теми меньшими и большими дугами, которые они образуют. Поскольку FG — хорда, и F,G — конца этой хорды, меньшая дуга, ограниченная F и G, будет: \[ \text{Меньшая дуга} = \text{дуга, которая равна} \; x° \] и более длинная будет равна \( 360° - x° \). **Вывод:** - Угол, равный 99°, опирается на дугу 198°, так как он в два раза меньше этой дуги. - Остающаяся дуга вокруг окружности — это 360°. **Итог:** - Градусная мера меньшей дуги (F и G): 99°. (потому что это дуга, на которую опирается угол или она равна 2×99°, то есть 198°, тогда меньшая дуга — 99°). - Градусная мера большей дуги (M и K): 180° или 360° минус меньшая, в зависимости от положения. Однако, по условию, у нас есть, что угол MQK = 99°, и мы использовали, что она равна половине дуги, которая равна 198°, то есть меньшая дуга (F,G) равна **99°**, а большая — \( 360° - 99° = 261° \). --- **Ответ:** **Градусная мера меньшей дуги:** 99 **Градусная мера большей дуги:** 261