Окружность задана уравнением (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9. Она повёрнута на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А (–3; 2). Укажите уравнение полученной окружности.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждую операцию.
Дано:
- Исходное уравнение окружности: \[(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9\]
- Окружность повернута на 90° против часовой стрелки относительно точки \(A(-3, 2)\).
Шаг 1. Определим исходную окружность
Исходное уравнение — это окружность с центром \(C_0(-4, 1)\) и радиусом \(R=3\), поскольку
\[ (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9 \]
Шаг 2. Перенесем систему координат так, чтобы точка \(A(-3, 2)\) стала новым началом
Чтобы проще выполнять поворот относительно точки \(A\), сделаем перевод с помощью смещения координат.
Для этого определим новые координаты \(X, Y\), связанные со старыми:
\[ X = x + 3, \quad Y = y - 2 \]
Это означает, что в новых координатах точка \(A(-3, 2)\) соответствует \(X=0, Y=0\).
Шаг 3. Перепишем уравнение окружности в новых координатах
Выразим \(x, y\) через \(X, Y\):
\[ x = X - 3 \] \[ y = Y + 2 \]
Подставим в исходное уравнение:
\[ (x+4)^2 + (y-1)^2 = 9 \]
подставляя \(x = X - 3\):
\[ (X - 3 + 4)^2 + (Y + 2 - 1)^2 = 9 \]
упрощая:
\[ (X + 1)^2 + (Y + 1)^2 = 9 \]
Это уравнение окружности с центром в \((-1, -1)\) и радиусом 3.
Шаг 4. Выполняем поворот на 90° против часовой стрелки
Поворот точки \((X, Y)\) на 90° против часовой стрелки осуществляется по формуле:
\[ X' = -Y \] \[ Y' = X \]
Это стандартное преобразование для поворота на 90°.
Заметим, что у нас центр окружности находится в \((-1, -1)\). Нужно переместить его по той же формуле:
\[ X_c' = -Y_c \] \[ Y_c' = X_c \]
где \((X_c, Y_c) = (-1, -1)\).
Подставим:
\[ X_c' = -(-1) = 1 \] \[ Y_c' = -1 \]
Таким образом, центр после поворота — \((1, -1)\).
Шаг 5. Найдём радиус после поворота
Поворот — это изометрическая трансформация, он сохраняет расстояния. Поэтому радиус останется равен 3.
Шаг 6. Запишем уравнение окружности после поворота
Теперь у окружности новый центр \((1, -1)\) и радиус \(R=3\):
\[ (X' - 1)^2 + (Y' + 1)^2 = 9 \]
Но мы работали в системе координат, связанной с исходной, поэтому вернёмся к исходной системе через обратное преобразование:
\[ X' = -Y \] \[ Y' = X \]
Обратное преобразование:
\[ X = Y' \] \[ Y = -X' \]
Подставим их в уравнение:
\[ (Y' - 1)^2 + (-X' + 1)^2 = 9 \] или
\[ (Y' - 1)^2 + (1 - X')^2 = 9 \]
Теперь, чтобы сделать его в координатах \(x, y\), возвратим их через исходные.
Напомним, что:
\[ X' = -Y, \quad Y' = X \] и
\[ X = x + 3, \quad Y = y - 2 \]
А также, в обратном виде:
\[ x = X - 3 \] \[ y = Y + 2 \]
Значит:
\[ X' = -Y = -(y - 2) = -y + 2 \] \[ Y' = X = x + 3 \]
подставим эти выражения в уравнение:
\[ (-y + 2 - 1)^2 + (1 - (x + 3))^2 = 9 \]
упрощая:
\[ (-y + 1)^2 + (-x - 2)^2 = 9 \]
или:
\[ (y - 1)^2 + (x + 2)^2 = 9 \]
Ответ:
Уравнение полученной окружности:
\[ \boxed{ (y - 1)^2 + (x + 2)^2 = 9 } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна более детальная разбивка — скажите!
