Окружность задана уравнением (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9. Она повёрнута на угол 90° против часовой стрелки относительно точки А (–3; 2). Укажите уравнение полученной окружности.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждую операцию. **Дано:** - Исходное уравнение окружности: \[(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9\] - Окружность повернута на 90° против часовой стрелки относительно точки \(A(-3, 2)\). --- ### Шаг 1. Определим исходную окружность Исходное уравнение — это окружность с центром \(C_0(-4, 1)\) и радиусом \(R=3\), поскольку \[ (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9 \] --- ### Шаг 2. Перенесем систему координат так, чтобы точка \(A(-3, 2)\) стала новым началом Чтобы проще выполнять поворот относительно точки \(A\), сделаем перевод с помощью смещения координат. Для этого определим новые координаты \(X, Y\), связанные со старыми: \[ X = x + 3, \quad Y = y - 2 \] Это означает, что в новых координатах точка \(A(-3, 2)\) соответствует \(X=0, Y=0\). --- ### Шаг 3. Перепишем уравнение окружности в новых координатах Выразим \(x, y\) через \(X, Y\): \[ x = X - 3 \] \[ y = Y + 2 \] Подставим в исходное уравнение: \[ (x+4)^2 + (y-1)^2 = 9 \] подставляя \(x = X - 3\): \[ (X - 3 + 4)^2 + (Y + 2 - 1)^2 = 9 \] упрощая: \[ (X + 1)^2 + (Y + 1)^2 = 9 \] Это уравнение окружности с центром в \((-1, -1)\) и радиусом 3. --- ### Шаг 4. Выполняем поворот на 90° против часовой стрелки Поворот точки \((X, Y)\) на 90° против часовой стрелки осуществляется по формуле: \[ X' = -Y \] \[ Y' = X \] Это стандартное преобразование для поворота на 90°. Заметим, что у нас центр окружности находится в \((-1, -1)\). Нужно переместить его по той же формуле: \[ X_c' = -Y_c \] \[ Y_c' = X_c \] где \((X_c, Y_c) = (-1, -1)\). Подставим: \[ X_c' = -(-1) = 1 \] \[ Y_c' = -1 \] Таким образом, центр после поворота — \((1, -1)\). --- ### Шаг 5. Найдём радиус после поворота Поворот — это изометрическая трансформация, он сохраняет расстояния. Поэтому радиус останется равен 3. --- ### Шаг 6. Запишем уравнение окружности после поворота Теперь у окружности новый центр \((1, -1)\) и радиус \(R=3\): \[ (X' - 1)^2 + (Y' + 1)^2 = 9 \] Но мы работали в системе координат, связанной с исходной, поэтому вернёмся к исходной системе через обратное преобразование: \[ X' = -Y \] \[ Y' = X \] Обратное преобразование: \[ X = Y' \] \[ Y = -X' \] Подставим их в уравнение: \[ (Y' - 1)^2 + (-X' + 1)^2 = 9 \] или \[ (Y' - 1)^2 + (1 - X')^2 = 9 \] Теперь, чтобы сделать его в координатах \(x, y\), возвратим их через исходные. Напомним, что: \[ X' = -Y, \quad Y' = X \] и \[ X = x + 3, \quad Y = y - 2 \] А также, в обратном виде: \[ x = X - 3 \] \[ y = Y + 2 \] Значит: \[ X' = -Y = -(y - 2) = -y + 2 \] \[ Y' = X = x + 3 \] подставим эти выражения в уравнение: \[ (-y + 2 - 1)^2 + (1 - (x + 3))^2 = 9 \] упрощая: \[ (-y + 1)^2 + (-x - 2)^2 = 9 \] или: \[ (y - 1)^2 + (x + 2)^2 = 9 \] --- ### **Ответ:** **Уравнение полученной окружности:** \[ \boxed{ (y - 1)^2 + (x + 2)^2 = 9 } \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужна более детальная разбивка — скажите!