√30-5√6/4-√6
Давайте подробно разберем выражение:
\[ \frac{\sqrt{30} - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}} \]
Цель — понять и упростить это выражение.
Шаг 1: Обратить внимание на числитель и знаменатель
- Числитель: \(\sqrt{30} - 5\sqrt{6}\)
- Знаменатель: \(4 - \sqrt{6}\)
Шаг 2: Попытка упростить числитель
Рассмотрим числитель: \(\sqrt{30} - 5\sqrt{6}\)
Обратите внимание, что \(\sqrt{30}\) — это \(\sqrt{6 \times 5} = \sqrt{6} \times \sqrt{5}\). Тогда:
\[ \sqrt{30} = \sqrt{6} \times \sqrt{5} \]
Запишем числитель как:
\[ \sqrt{6} \times \sqrt{5} - 5 \sqrt{6} \]
Выносим \(\sqrt{6}\) за скобки:
\[ \sqrt{6} (\sqrt{5} - 5) \]
Шаг 3: Упростить выражение полностью
Теперь наше выражение выглядит так:
\[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \]
Шаг 4: Упростить деление
Следующая задача — упростить дробь:
\[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \]
Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение \(4 + \sqrt{6}\):
\[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} \]
Это стандартный прием для избавления от иррациональных знаменателей.
Шаг 5: Раскроем скобки в числителе и знаменателе
Числитель:
\[ \sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6}) \]
Знаменатель:
\[ (4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 = 16 - 6 = 10 \]
Таким образом, деление становится:
\[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6})}{10} \]
Шаг 6: Раскроем скобки в числителе
Раскроем \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6})\)
Для этого используем ассоциативность: сначала умножим \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)\), а потом умножим результат на \((4 + \sqrt{6})\).
- Уже нашли, что \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5) = \sqrt{6} \sqrt{5} - 5 \sqrt{6} = \sqrt{30} - 5 \sqrt{6}\)
Теперь умножим полученное выражение \(\sqrt{30} - 5 \sqrt{6}\) на \(4 + \sqrt{6}\):
\[ (\sqrt{30} - 5 \sqrt{6}) \times (4 + \sqrt{6}) \]
Раскроем скобки по формуле распределительного свойства:
\[ \sqrt{30} \times 4 + \sqrt{30} \times \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} \times 4 - 5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} \]
Посчитаем каждое слагаемое:
- \( \sqrt{30} \times 4 = 4 \sqrt{30} \)
- \( \sqrt{30} \times \sqrt{6} = \sqrt{30 \times 6} = \sqrt{180} \)
- \( -5 \sqrt{6} \times 4 = -20 \sqrt{6} \)
- \( -5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} = -5 \times 6 = -30 \)
Запишем:
\[ 4 \sqrt{30} + \sqrt{180} - 20 \sqrt{6} - 30 \]
Шаг 7: Упростить \(\sqrt{180}\)
\[ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} \]
Итог:
\[ 4 \sqrt{30} + 6 \sqrt{5} - 20 \sqrt{6} - 30 \]
Итоговое выражение
Вернемся к всей дроби:
\[ \frac{4 \sqrt{30} + 6 \sqrt{5} - 20 \sqrt{6} - 30}{10} \]
Можем вынести за скобки все, что делится на 2 для удобства:
\[ \frac{2 (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15)}{10} = \frac{2}{10} (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15) \]
\[ = \frac{1}{5} (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15) \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15}{5} } \]
Это — упрощенная форма исходного выражения.
Если нужно, можно разделить каждое слагаемое по отдельности, но чаще такой вид считается максимально удобным.
Если нужно подробнее объяснить любой шаг, спрашивайте!
