√30-5√6/4-√6

Давайте подробно разберем выражение: \[ \frac{\sqrt{30} - 5\sqrt{6}}{4 - \sqrt{6}} \] Цель — понять и упростить это выражение. --- ### Шаг 1: Обратить внимание на числитель и знаменатель - Числитель: \(\sqrt{30} - 5\sqrt{6}\) - Знаменатель: \(4 - \sqrt{6}\) --- ### Шаг 2: Попытка упростить числитель Рассмотрим числитель: \(\sqrt{30} - 5\sqrt{6}\) Обратите внимание, что \(\sqrt{30}\) — это \(\sqrt{6 \times 5} = \sqrt{6} \times \sqrt{5}\). Тогда: \[ \sqrt{30} = \sqrt{6} \times \sqrt{5} \] Запишем числитель как: \[ \sqrt{6} \times \sqrt{5} - 5 \sqrt{6} \] Выносим \(\sqrt{6}\) за скобки: \[ \sqrt{6} (\sqrt{5} - 5) \] --- ### Шаг 3: Упростить выражение полностью Теперь наше выражение выглядит так: \[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \] --- ### Шаг 4: Упростить деление Следующая задача — упростить дробь: \[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \] Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение \(4 + \sqrt{6}\): \[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)}{4 - \sqrt{6}} \times \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} \] Это стандартный прием для избавления от иррациональных знаменателей. --- ### Шаг 5: Раскроем скобки в числителе и знаменателе **Числитель:** \[ \sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6}) \] **Знаменатель:** \[ (4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 = 16 - 6 = 10 \] Таким образом, деление становится: \[ \frac{\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6})}{10} \] --- ### Шаг 6: Раскроем скобки в числителе Раскроем \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)(4 + \sqrt{6})\) Для этого используем ассоциативность: сначала умножим \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5)\), а потом умножим результат на \((4 + \sqrt{6})\). - Уже нашли, что \(\sqrt{6} (\sqrt{5} - 5) = \sqrt{6} \sqrt{5} - 5 \sqrt{6} = \sqrt{30} - 5 \sqrt{6}\) Теперь умножим полученное выражение \(\sqrt{30} - 5 \sqrt{6}\) на \(4 + \sqrt{6}\): \[ (\sqrt{30} - 5 \sqrt{6}) \times (4 + \sqrt{6}) \] Раскроем скобки по формуле распределительного свойства: \[ \sqrt{30} \times 4 + \sqrt{30} \times \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} \times 4 - 5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} \] Посчитаем каждое слагаемое: 1. \( \sqrt{30} \times 4 = 4 \sqrt{30} \) 2. \( \sqrt{30} \times \sqrt{6} = \sqrt{30 \times 6} = \sqrt{180} \) 3. \( -5 \sqrt{6} \times 4 = -20 \sqrt{6} \) 4. \( -5 \sqrt{6} \times \sqrt{6} = -5 \times 6 = -30 \) Запишем: \[ 4 \sqrt{30} + \sqrt{180} - 20 \sqrt{6} - 30 \] --- ### Шаг 7: Упростить \(\sqrt{180}\) \[ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} \] Итог: \[ 4 \sqrt{30} + 6 \sqrt{5} - 20 \sqrt{6} - 30 \] --- ### Итоговое выражение Вернемся к всей дроби: \[ \frac{4 \sqrt{30} + 6 \sqrt{5} - 20 \sqrt{6} - 30}{10} \] Можем вынести за скобки все, что делится на 2 для удобства: \[ \frac{2 (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15)}{10} = \frac{2}{10} (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15) \] \[ = \frac{1}{5} (2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15) \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{2 \sqrt{30} + 3 \sqrt{5} - 10 \sqrt{6} - 15}{5} } \] Это — упрощенная форма исходного выражения. Если нужно, можно разделить каждое слагаемое по отдельности, но чаще такой вид считается максимально удобным. --- Если нужно подробнее объяснить любой шаг, спрашивайте!