Прямая касается окружности с центром О в точке М. На касательной по разные стороны от точки М отметили точки К и Р такие, что ∠MOK = ∠MOP. Найдите угол ОКМ, если ∠OPM = 48°.

Рассмотрим условие задачи и пошагово выясним нужный угол. **Дано:** - Прямая касается окружности с центром \(O\) в точке \(M\). - На касательной в точке \(M\) отметили точки \(K\) и \(P\) по разные стороны от \(M\). - \(\angle MOK = \angle MOP\). - \(\angle OPM = 48^\circ\). **Нам нужно найти:** \(\angle OKM\). --- ### Шаг 1: Анализ условий и построение схемы - Так как прямая касается окружности в точке \(M\), то: \[ OM \perp \text{касательной в } M, \] то есть \(OM \perp\) касательной. - Точки \(K\) и \(P\) находятся на касательной по разные стороны от \(M\). Значит: - \(K\) и \(P\) лежат на одной и той же прямой — касательной. - \(K\) и \(P\) расположены так, что \(\angle MOK = \angle MOP\), то есть равны. - \(O\) — центр окружности; \(K\) и \(P\) — точки на касательной. --- ### Шаг 2: Свойства касательной и радиусов Из свойства касательной к окружности: - Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ OM \perp \text{касательная}. \] - Так как \(K\) и \(P\) лежат на касательной, то: \[ OK \perp \text{касательной}, \quad OP \perp \text{касательной}. \] Значит: - \(OK \perp\) касательной, - \(OP \perp\) касательной. А так как \(K\) и \(P\) на одной линии (касающейся), то: \[ OK \perp \text{касательной}, \quad OP \perp \text{касательной}. \] — радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательной. --- ### Шаг 3: Использование равенства \(\angle MOK = \angle MOP\) - Так как \(OK\) и \(OP\) — радиусы, соединяющие центр \(O\) с точками на касательной, то: \[ \angle MOK = \angle MOP. \] Но важный момент: - Точки \(K\) и \(P\) — на касательной, по разные стороны от \(M\). - Радиусы \(OK\) и \(OP\) идут к этим точкам. --- ### Шаг 4: Анализ треугольников \(OMK\) и \(OMP\) Так как \(OM \perp\) касательной, и \(\angle OPM = 48^\circ\), попробуем связать эти углы. Обратим внимание: - \(OM\) — радиус, перпендикулярный касательной. - \(K\) и \(P\) расположены по разные стороны от \(M\), поэтому: \[ \angle KOM \quad \text{и} \quad \angle POM, \] — связаны с радиусами и точками касания. --- ### Шаг 5: Важное свойство — равенство углов - \(\angle MOK = \angle MOP\) — по условию. Поскольку радиусы \(OK\) и \(OP\) равны (\оба идут от центра к точкам касания), то: \[ \angle KOM = \angle POM, \] — \(K\) и \(P\) симметрично расположены относительно линии, проходящей через \(O\) и \(M\). --- ### Шаг 6: Использование данных \(\angle OPM = 48^\circ\) - Мы ищем \(\angle OKM\), то есть угол между точками \(K\) и \(M\) у центра \(O\) и точки \(K\). Обозначим: \[ \angle KMO = \alpha, \] — искомый угол. Вероятно, стоит перейти к тригонометрическим соотношениям. --- ### Шаг 7: Итоговое решение Обратимся к геометрической интерпретации: - \(\angle OPM = 48^\circ\) — это угол между радиусом \(OP\) и касательной. - Так как \(OM\) перпендикулярен касательной, то углы между радиусами и касательной — 90°. Теперь, заметим: - Точки \(K\) и \(P\) на касательной по разные стороны от \(M\). - Поскольку \(\angle MOK = \angle MOP\), они равны и, следовательно, симметричны относительно линии, проходящей через центр \(O\) и точку \(M\). Итак, окончательно: - В треугольнике \(OKM\) будет \(\angle OKM\), - из геометрических соотношений следует, что \(\boxed{ \angle OKM = 48^\circ }\). ### Итог: \[ \boxed{\angle OKM = 48^\circ} \] --- Если необходимо, могу дополнительно пояснить каждый шаг или показать схему.