Какова вероятность что при пяти бросаниях игральной кости шестёрка выпадет два раза?
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый момент.
Условие задачи:
Вероятность того, что при пяти бросках игральной шестигранной кости шестерка выпадет ровно два раза.
Шаг 1: Определение вероятностей для одного броска
- Вероятность того, что в одном броске выпадает шестёрка:
\[ p = \frac{1}{6} \] - Вероятность того, что не выпадает шестёрка:
\[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \]
Шаг 2: Использование биномиальной формулы
Задача сводится к вычислению вероятности того, что из 5 независимых бросков exactly 2 раза выпадает шестёрка.
Это классическая задача на биномиальный эксперимент, для которого используется формула:
\[ P(k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n - k} \]
где:
- \( n = 5 \) — число бросков,
- \( k = 2 \) — число успешных исходов (повторений шестерки),
- \( C(n, k) \) — число сочетаний: количество способов выбрать 2 броска из 5, в которых выпадет шестёрка.
Шаг 3: Вычисление числа сочетаний \( C(5, 2) \)
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times (5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Шаг 4: Подставляем все значения в формулу
\[ P(2) = C(5, 2) \times p^2 \times q^{3} \]
Подставим числовые значения:
\[ P(2) = 10 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
Шаг 5: Вычисляем степени
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \] \[ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
Шаг 6: Перемножение
\[ P(2) = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} \]
Объединим числители и знаменатели:
\[ P(2) = 10 \times \frac{125}{36 \times 216} \]
Шаг 7: Упрощение
\[ P(2) = \frac{10 \times 125}{36 \times 216} \]
Посчитаем числитель и знаменатель:
- числитель: \(10 \times 125 = 1250\)
- знаменатель: \(36 \times 216\)
Вычислим знаменатель:
\[ 36 \times 216 = (36 \times 200) + (36 \times 16) = 7200 + 576 = 7776 \]
Итого:
\[ P(2) = \frac{1250}{7776} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{1250}{7776} \approx 0,1609 } \]
или примерно 16,09%.
Если нужно, я могу подготовить пояснение к каждому шагу!
