Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- сторона основания правильной треугольной призмы ( a = 2 ) см,
- высота призмы ( h = 13\sqrt{3} ) см.
Нам нужно найти:
- объем призмы,
- площадь поверхности призмы.
Шаг 1. Объем призмы
Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле:
[
V = S_{\text{основания}} \times h,
]
где ( S_{\text{основания}} ) — площадь равностороннего треугольника основания.
Шаг 2.Площадь основания
Площадь равностороннего треугольника со стороной ( a ):
[
S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]
Подставим ( a = 2 ):
[
S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}.
]
Шаг 3. Объем призмы
Теперь вычислим объем:
[
V = \sqrt{3} \times 13\sqrt{3} = \sqrt{3} \times 13 \times \sqrt{3}.
]
Помним, что ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 ):
[
V = 13 \times 3 = 39 \text{ см}^3.
]
Ответ: объем призмы равен 39 см³.
Шаг 4. Площадь поверхности призмы
Площадь поверхности — сумма площади двух оснований и площади боковых поверхностей.
Формула:
[
S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основания}} + \text{периметр основания} \times h.
]
Шаг 5. Периметр основания
Периметр равностороннего треугольника:
[
P = 3a = 3 \times 2 = 6 \text{ см}.
]
Шаг 6. Площадь боковых поверхностей
Боковые поверхности — три rectangles, каждая со стороной ( a ) и высотой ( h ).
Общая площадь боковых стен:
[
S_{\text{боковых}} = P \times h = 6 \times 13\sqrt{3} = 78 \sqrt{3}.
]
Шаг 7. Общая площадь поверхности
Подставляем все в формулу:
[
S_{\text{поверхности}} = 2 \times \sqrt{3} + 78 \sqrt{3} = (2 + 78) \sqrt{3} = 80 \sqrt{3} \text{ см}^2.
]
Итоги:
- Объем призмы: ( \boxed{39} ) см³,
- Площадь поверхности призмы: ( \boxed{80\sqrt{3}} ) см².
Если нужно, я могу помочь оформить ответ более подробно или объяснить любой из шагов!
