КПД подвижного блока при подъеме первого груза равен `80%`, а при подъеме второго – `90%`. Масса какого груза больше и во сколько раз? Трением в блоке и массой веревки пренебречь.
Дано:
- КПД подвижного блока при подъеме первого груза: \(\eta_1 = 80\% = 0{,}8\)
- КПД при подъеме второго груза: \(\eta_2 = 90\% = 0{,}9\)
Рассмотрим механизм подъема груза с помощью подвижного блока. Пусть:
- \(G_1 = m_1 g\) — вес первого груза,
- \(G_2 = m_2 g\) — вес второго груза,
- \(T\) — сила, приложенная к тросу.
Так как трения в блоке пренебречь, механическая работа при подъеме груза равна работе, затраченной на преодоление сопротивления, скоростью подъема.
КПД блока определяется как отношение полезной работы (поднятый груз) к затраченной работе:
\[ \eta = \frac{\text{Работа полезная}}{\text{Общая затраченная работа}} \]
При подъеме грузов, где масса грузов различна, сила, приложенная к тросу, зависит от типа системы.
Анализ для подвижного блока:
При подъеме одного груза, чтобы поднять его на высоту \(h\), затраченная работа равна \(A_{\text{затраченная}} = T \cdot h\) (в условии без трения, силой \(T\) и высотой \(h\)).
Для подъемного блока, имея в виду, что нагрузка делится между двумя ветвями троса, полезная работа — это работа, сделанная для подъема груза.
В системе с подвижным блоком, силой, которую нужно приложить, чтобы поднять груз, будет:
\[ T = \frac{G}{2} \quad \text{(на случай равномерной системы, когда груз и трос расположены так, что нагрузка распределена равномерно)}. \]
Однако, поскольку точный механизм не заявлен и в задаче не уточнено, предположим, что при подъеме одного груза, сила, прикладываемая к тросу, в два раза меньше веса груза (типичный случай для механизма, где сила для подъема равна половине веса).
- Тогда:
\[ \text{Работа затраченная} = T \cdot h, \] \[ \text{Работа полезная} = G \cdot h. \]
Поскольку КПД:
\[ \eta = \frac{G \cdot h}{T \cdot h} = \frac{G}{T}. \]
То есть:
\[ T = \frac{G}{\eta}. \]
При этом, в реальности, для подъема груза:
\[ T = \frac{G}{2}, \]
по условию, силой для поднятия груза без учета трения и масс веревки.
Применим к задачам:
Для первого груза:
\[ \eta_1 = \frac{G_1}{2 T_1} \Rightarrow T_1 = \frac{G_1}{2 \eta_1}. \]
Для второго груза аналогично:
\[ T_2 = \frac{G_2}{2 \eta_2}. \]
Так как работа по подъему грузов одинаковая, сила, прилагаемая к тросу и работа по подъему пропорциональна весу.
Из формулы работы в системе подъемника:
\[ A_{\text{затраченная}} = T \cdot h, \quad A_{\text{полезная}} = G \cdot h, \]
и,
\[ \eta = \frac{A_{\text{полезная}}}{A_{\text{затраченная}}} = \frac{G}{T}. \]
Отсюда:
\[ T = \frac{G}{\eta}. \]
Но поскольку в системе с подвижным блоком, где масса веревки и трение пренебрежены, для поднятия одного груза сила равна \(T = \frac{G}{2}\), тогда из уравнения КПД:
\[ \eta = \frac{G}{2T} \Rightarrow T = \frac{G}{2\eta}. \]
Совпадение подтверждает, что при этом:
\[ T = \frac{G}{2}, \] и уравнение:
\[ \eta = \frac{G}{2 T}. \]
Отсюда, чтобы найти массу груза, выразим:
\[ G = 2 T \eta. \]
Поскольку \(T\) — сила, приложенная к тросу, в наших условиях не задана, то преимущество имеет отношение между массами, поскольку сила, необходимая для подъема, пропорциональна массе груза.
Вывод:
Масса груза пропорциональна \(\frac{G}{g}\), а из формулы:
\[ G = 2 T \eta, \]
масса груза пропорциональна \(\eta\):
\[ m = \frac{G}{g} \propto \eta, \]
то есть:
\[ m_1 \propto \eta_1 = 0{,}8, \] \[ m_2 \propto \eta_2 = 0{,}9, \]
следовательно, масса второго груза больше, и во сколько раз:
\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{0{,}9}{0{,}8} = \frac{9}{8} = 1{,}125. \]
Ответ:
Масса второго груза больше, причём она примерно в 1,125 раз больше массы первого груза.
