Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- Задуманное число — трехзначное число, делится на 35.
- Меняем местами цифры десятков и единиц.
- После этой замены получается новое число.
- Мы вычли новое число из первоначального: результат — 63.
Задача: найти исходное число.
Шаг 1: Обозначение переменных
Обозначим исходное число как:
\[ \textbf{ABC} \]
где:
- \(A\) — цифра сотен (1-9), так как число трехзначное.
- \(B\) — цифра десятков (0-9).
- \(C\) — цифра единиц (0-9).
Тогда число:
\[ 100A + 10B + C \]
Шаг 2: Условие делимости на 35
Число делится на 35, то есть на 5 и на 7.
- Делимость на 5: \( C = 0 \text{ или } 5 \).
Рассмотрим оба варианта.
Шаг 3: Формирование нового числа после перестановки
При перестановке цифр десятков и единиц:
- Новое число: \( 100A + 10C + B \).
Шаг 4: Уравнение из условия
Вычитаем новое число из первоначального:
\[
(100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 63
\]
Раскроем скобки:
\[
100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 63
\]
Объединим подобные:
\[
(100A - 100A) + (10B - B) + (C - 10C) = 63
\]
\[
0 + 9B - 9C = 63
\]
Итак, имеем:
\[
9(B - C) = 63
\]
Делим обе части на 9:
\[
B - C = 7
\]
Это важное условие.
Шаг 5: Оценка условий для \( C \)
Повторимся: \( C \) — последняя цифра исходного числа, и оно делится на 35.
Если \( C=0 \), то число делится на 5, и условие делимости на 35 требует также делимости на 7.
Если \( C=5 \), то число делится на 5 (по условию), и нужно проверить делимость на 7.
Шаг 6: Проверка варианта \( C=0 \)
Если \( C=0 \), то из \( B - C = 7 \) получаем:
\[
B - 0=7 \Rightarrow B=7
\]
Имеем:
- \( C=0 \),
- \( B=7 \).
Тогда исходное число:
\[ 100A + 10 \times 7 + 0= 100A + 70 \].
Это число делится на 35. Проверим делимость на 7.
- Число: \( 100A + 70 \).
- Делимость на 7: \( 100A + 70 \).
Поскольку \( 70 \) делится на 7, вопрос — делится ли \( 100A \)?
\( 100A = 7 \times (\text{какое-то число}) \)?
Проверим делимость числа \( 100A \) на 7:
\[ 100 \equiv 2 \pmod{7} \quad (\text{так как } 7 \times 14=98, \ 100-98=2) \]
Следовательно:
\[
100A \equiv 2A \pmod{7}
\]
Для делимости на 7, сумма должна быть кратна 7:
\[
2A + 70 \equiv 0 \pmod{7}
\]
Но \( 70 \equiv 0 \pmod{7} \), так что условие сводится к:
\[
2A \equiv 0 \pmod{7}
\]
Значит:
\[
2A \equiv 0 \pmod{7}
\]
Так как \( 2 \) и \( 7 \) взаимно просты, чтобы произведение было делимо на 7, нужно, чтобы \( A \) было делимо на 7.
Цифра \( A \) — от 1 до 9, и единственное значение кратное 7 — это 7.
Проверим число:
\[ A=7 \]
Исходное число:
\[ 100 \times 7 + 70 = 700 +70=770 \].
Проверим делимость на 35:
- Делится на 5 (последняя цифра 0) — да.
- Делится на 7?
\( 770/7=110 \) — делится без остатка, да.
Условие выполнено.
Шаг 7: Проверка результата
- Исходное число: 770.
Переставляем цифры десятков и единиц:
- \( A=7, B=7, C=0 \).
- После перестановки: \( 100A + 10C + B= 100 \times 7 + 10 \times 0 + 7= 700+0+7=707 \).
Теперь проверим разность:
\[ 770 - 707=63 \].
Да, совпадает!
Ответ:
Задуманное число — 770.
Если потребуется объяснение, почему именно оно и как мы нашли — я могу дополнительно описать.
