Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Давайте разберемся с задачей пошагово. **Дано:** - Задуманное число — трехзначное число, делится на 35. - Меняем местами цифры десятков и единиц. - После этой замены получается новое число. - Мы вычли новое число из первоначального: результат — 63. Задача: найти исходное число. --- ### Шаг 1: Обозначение переменных Обозначим исходное число как: \[ \textbf{ABC} \] где: - \(A\) — цифра сотен (1-9), так как число трехзначное. - \(B\) — цифра десятков (0-9). - \(C\) — цифра единиц (0-9). Тогда число: \[ 100A + 10B + C \] --- ### Шаг 2: Условие делимости на 35 Число делится на 35, то есть на 5 и на 7. - Делимость на 5: \( C = 0 \text{ или } 5 \). Рассмотрим оба варианта. --- ### Шаг 3: Формирование нового числа после перестановки При перестановке цифр десятков и единиц: - Новое число: \( 100A + 10C + B \). --- ### Шаг 4: Уравнение из условия Вычитаем новое число из первоначального: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 63 \] Раскроем скобки: \[ 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 63 \] Объединим подобные: \[ (100A - 100A) + (10B - B) + (C - 10C) = 63 \] \[ 0 + 9B - 9C = 63 \] Итак, имеем: \[ 9(B - C) = 63 \] Делим обе части на 9: \[ B - C = 7 \] **Это важное условие.** --- ### Шаг 5: Оценка условий для \( C \) Повторимся: \( C \) — последняя цифра исходного числа, и оно делится на 35. - Если \( C=0 \), то число делится на 5, и условие делимости на 35 требует также делимости на 7. - Если \( C=5 \), то число делится на 5 (по условию), и нужно проверить делимость на 7. --- ### Шаг 6: Проверка варианта \( C=0 \) Если \( C=0 \), то из \( B - C = 7 \) получаем: \[ B - 0=7 \Rightarrow B=7 \] Имеем: - \( C=0 \), - \( B=7 \). Тогда исходное число: \[ 100A + 10 \times 7 + 0= 100A + 70 \]. Это число делится на 35. Проверим делимость на 7. - Число: \( 100A + 70 \). - Делимость на 7: \( 100A + 70 \). Поскольку \( 70 \) делится на 7, вопрос — делится ли \( 100A \)? \( 100A = 7 \times (\text{какое-то число}) \)? Проверим делимость числа \( 100A \) на 7: \[ 100 \equiv 2 \pmod{7} \quad (\text{так как } 7 \times 14=98, \ 100-98=2) \] Следовательно: \[ 100A \equiv 2A \pmod{7} \] Для делимости на 7, сумма должна быть кратна 7: \[ 2A + 70 \equiv 0 \pmod{7} \] Но \( 70 \equiv 0 \pmod{7} \), так что условие сводится к: \[ 2A \equiv 0 \pmod{7} \] Значит: \[ 2A \equiv 0 \pmod{7} \] Так как \( 2 \) и \( 7 \) взаимно просты, чтобы произведение было делимо на 7, нужно, чтобы \( A \) было делимо на 7. Цифра \( A \) — от 1 до 9, и единственное значение кратное 7 — это 7. Проверим число: \[ A=7 \] Исходное число: \[ 100 \times 7 + 70 = 700 +70=770 \]. Проверим делимость на 35: - Делится на 5 (последняя цифра 0) — да. - Делится на 7? \( 770/7=110 \) — делится без остатка, да. Условие выполнено. --- ### Шаг 7: Проверка результата - Исходное число: 770. Переставляем цифры десятков и единиц: - \( A=7, B=7, C=0 \). - После перестановки: \( 100A + 10C + B= 100 \times 7 + 10 \times 0 + 7= 700+0+7=707 \). Теперь проверим разность: \[ 770 - 707=63 \]. Да, совпадает! --- ### **Ответ:** **Задуманное число — 770.** --- Если потребуется объяснение, почему именно оно и как мы нашли — я могу дополнительно описать.