Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
В ящике:
- 7 красных шаров
- 5 синих шаров
- 3 желтых шаров
- 4 розовых шаров
Общее число шаров:
[
7 + 5 + 3 + 4 = 19
]
Опыт проводят 5 раз:
- В каждом опыте вытягивают один шар и возвращают его обратно (замена).
Условие успеха — вытянуть синий шар.
Необходимо найти число элементарных событий, при которых из 5 вытягиваний ровно 3 раза будет получен синий шар.
Шаг 1. Вероятность появления синего шара при одном вытягивании
Вероятность вытянуть синий шар:
[
P(\text{синий}) = \frac{5}{19}
]
А вероятность не синего:
[
P(\text{не синий}) = 1 - \frac{5}{19} = \frac{14}{19}
]
Шаг 2. Модель задачи
Поскольку шар возвращают обратно,Experiments are independent, and в каждом опыте вероятность успеха (вытащить синий) постоянна.
Нам нужно посчитать число всех событий, при которых среди 5 вытягиваний ровно 3 раза получится синий шар.
Это классическая задача на биномиальное распределение:
[
\text{Количество способов выбрать 3 успеха из 5} = C_5^3
]
где ( C_5^3 ) — число сочетаний.
Шаг 3. Вычисление ( C_5^3 )
[
C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10
]
Итак, есть 10 способов выбрать, в каких именно из 5 вытягиваний будут синяя.
Шаг 4. Количество элементарных событий
Задача просит найти число элементарных событий, соответствующих ровно 3 успехам (вытащить синий), а остальные 2 вытягивания — не синие.
Поскольку каждое вытягивание можно представить как событие, то:
[
\text{число элементарных событий} = \text{число способов выбрать, в каких опытах будет успех} \times \text{число вариантов остальных исходов}
]
Для каждого опыта:
- Выбор 3 последовательностей синих шаров: есть ( C_5^3 = 10 ) вариантов.
- Для каждого из оставшихся 2 опыта: вытягивается не синий шар, то есть 14 вариантов (оба раза).
Количество способов получить конкретный набор событий:
[
(число способов выбрать, в каких 3 опытах будет синий) \times (число вариантов не синего для оставшихся 2 опытов)
]
Поскольку в условной задаче мы ищем число элементарных событий, а не вероятность, то именно фактическое число комбинаций равно:
[
C_5^3 \times 14^2
]
где:
- ( C_5^3 = 10 ),
- ( 14 ) — число вариантов не синего шара (все остальные цвета).
Итог:
[
\boxed{
\text{Число элементарных событий} = C_5^3 \times 14^2 = 10 \times 14^2
}
]
Посчитаем ( 14^2 ):
[
14^2 = 196
]
Итак,
[
\boxed{
\text{Число элементарных событий} = 10 \times 196 = 1960
}
]
Ответ:
Число элементарных событий, при которых из пяти вытягиваний ровно 3 раза будет получен синий шар, равно 1960.
