.

Давайте поэтапно разберёмся с задачей.

Задача:

Дана сторона равностороннего треугольника равна \( 2 \sqrt{3} \) мм.

Требуется найти:

1. Площадь треугольника \( S \),
2. Радиус вписанной окружности \( r \),
3. Радиус описанной окружности \( R \).

Шаг 1. Площадь равностороннего треугольника \(S\)

Формула площади равностороннего треугольника через сторону \(a\):

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим \(a = 2 \sqrt{3}\):

\[ a^2 = (2 \sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 \]

То есть:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 = \sqrt{3} \times 3 = 3 \sqrt{3} \text{ мм}^2 \]

Шаг 2. Радиус вписанной окружности \( r \)

Формула радиуса вписанной окружности для равностороннего треугольника:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Подставим \(a = 2 \sqrt{3}\):

\[ r = \frac{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \times 3}{6} = \frac{6}{6} = 1 \text{ мм} \]

Шаг 3. Радиус описанной окружности \( R \)

Формула радиуса описанной окружности:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим \(a = 2 \sqrt{3}\):

\[ R = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ мм} \]

Итоговые ответы:

• Площадь треугольника \( S = 3 \sqrt{3} \) мм²
• Радиус вписанной окружности \( r = 1 \) мм
• Радиус описанной окружности \( R = 2 \) мм

Если что-то непонятно или нужно подробнее — скажите!