В треугольнике ABC угол B равен 90, точка K - середина AC. Найдите длину BK, если: а) AC= 19, AB= 8
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дана задача:
- В треугольнике \( ABC \), угол \( B \) равен \( 90^\circ \).
- Точка \( K \) — середина основания \( AC \).
- Известны длины: \( AC = 19 \), \( AB = 8 \).
- Не указано, что нужно найти, но, судя по всему, — длину отрезка \( BK \).
Шаг 1: Построение схемы и удобное обозначение
Так как угол \( B \) — прямой, то треугольник \( ABC \) прямоугольный, и угол при вершине \( B \) равен \( 90^\circ \).
Обозначим:
- \( AB \) — прилежащая катета к углу \( B \),
- \( BC \) — другой катет,
- \( AC \) — гипотенуза.
Из условия: \[ AB = 8, \quad AC = 19. \]
Точка \( K \) — середина \( AC \).
Шаг 2: Положения точек и координатное решение
Для удобства возьмем координатную систему:
- Пусть точка \( A \) находится в начале координат: \[ A(0, 0), \]
- Так как \( B \) — вершина прямого угла, расположим её так, чтобы \( AB \) было вертикально вверх, а \( BC \) — горизонтально. Тогда:
\[ B(0, 8), \] (так как \( AB = 8 \), и \( A(0,0) \)).
- Точку \( C \) расположим так, чтобы гипотенуза \( AC \) была равна 19. Пусть \( C \) имеет координаты \( (x, y) \).
Шаг 3: Используем условия для определения \( C \)
Известно, что:
\[ |AC| = 19, \] то есть:
\[ ( x - 0 )^2 + ( y - 0 )^2 = 19^2 = 361. \]
Также, поскольку \( B \) — вершина прямого угла, то \( AB \) и \( BC \) перпендикулярны. В координатах это:
- Вектор \( AB \) — вертикальный: \( (0,8) \),
- Вектор \( BC \): \( ( x - 0, y - 8 ) \).
Поскольку \( AB \) и \( BC \) перпендикулярны,
\[ (0) \cdot (x) + (8) \cdot ( y - 8 ) = 0, \] или
\[ 8 ( y - 8 ) = 0, \] откуда
\[ y = 8. \]
Шаг 4: Находим \( C \)
Подставляем \( y = 8 \) в уравнение для гипотенузы:
\[ x^2 + y^2 = 361, \] т.е.,
\[ x^2 + 8^2 = 361, \] \[ x^2 + 64 = 361, \] \[ x^2 = 297, \] \[ x = \pm \sqrt{297} = \pm \sqrt{9 \times 33} = \pm 3 \sqrt{33}. \]
Итак, координаты \( C \):
\[ C (3\sqrt{33}, 8), \quad \text{или} \quad C (-3\sqrt{33}, 8). \]
Обозначим:
\[ C_1 = (3\sqrt{33}, 8), \] \[ C_2 = (-3\sqrt{33}, 8). \]
Шаг 5: Находим точку \( K \) — середина \( AC \)
Тогда,
\[ K = \left( \frac{0 + x_C}{2}, \frac{0 + y_C}{2} \right). \]
Для \( C_1 \):
\[ K = \left( \frac{0 + 3\sqrt{33}}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = \left( \frac{3\sqrt{33}}{2}, 4 \right). \]
Шаг 6: Находим длину отрезка \( BK \)
Точка \( B \) — на координатах \( (0,8) \).
Расстояние \( BK \):
\[ BK = \sqrt{ (x_K - x_B)^2 + (y_K - y_B)^2 }. \]
Подставляем значення:
\[ x_B = 0, \quad y_B = 8, \] \[ x_K = \frac{3\sqrt{33}}{2}, \quad y_K = 4. \]
Тогда:
\[ BK = \sqrt{ \left( \frac{3\sqrt{33}}{2} - 0 \right)^2 + (4 - 8)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{3\sqrt{33}}{2} \right)^2 + (-4)^2 }. \]
Рассчитаем каждое слагаемое:
\[ \left( \frac{3\sqrt{33}}{2} \right)^2 = \frac{9 \times 33}{4} = \frac{297}{4}, \] \[ (-4)^2 = 16. \]
Следовательно,
\[ BK = \sqrt{\frac{297}{4} + 16} = \sqrt{\frac{297}{4} + \frac{64}{4}} = \sqrt{\frac{361}{4}} = \frac{\sqrt{361}}{2} = \frac{19}{2} = 9.5. \]
Аналогично при использовании точки \( C_2 \), длина \( BK \) будет такой же, поскольку только меняется знак \( x \)-координаты, что не влияет на расстояние.
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Длина } BK = \frac{19}{2} = 9{,}5. } \]
Если есть дополнительные условия, можно уточнить, какая из точек \( C \) предпочтительнее, но по заданным данным — такой результат.
