.
Давайте разберемся с задачей поэтапно:
Дана:
- \(\angle OAK = 30^\circ\)
- Отрезок касательной \(\overline{KA} = 7{,}6\sqrt{3}\) дм
Нам нужно найти длину окружности \(C\).
Шаг 1: Анализ данных и геометрическая схема
На рисунке показан радиус \(OK\), касательная \(\overline{KA}\), точка касания \(K\), и угол \(\angle OAK = 30^\circ\).
Известно:
- Радиус \(OK\) перпендикулярен касательной \(\overline{KA}\) в точке касания \(K\).
- \(\angle OAK = 30^\circ\), то есть угол между радиусом \(OK\) и касательной \(\overline{KA}\).
Поскольку радиус перпендикулярен касательной, то: \[ \angle KAO = 90^\circ \] Обозначим \(OK = R\), радиус окружности.
Шаг 2: Найти радиус \(R\)
Треугольник \(OAK\):
- В нём известен угол \(\angle OAK = 30^\circ\).
- \(\angle OAK\) — угол между радиусом \(OK\) и касательной \(\overline{KA}\).
Обратите внимание, что в треугольнике \(OAK\) угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\) (так как радиус перпендикулярен касательной), а угол при \(O\) — это \( \angle K O A \) (так как радиус \(OK\)).
Значит, треугольник \(OAK\):
- Углы: \( \angle O A K = 90^\circ \),
- \( \angle O A O = 30^\circ \),
- Иначе: угол \( \angle O A O \) — это \(30^\circ\).
Используем тригонометрию в треугольнике \(OAK\).
Шаг 3: Использование тригонометрии
Углы и стороны:
- В треугольнике \(OAK\), угол при \(O\) равен \(30^\circ\),
- \(OA = R\) (радиус),
- \(AK\) — касательная (не является стороной треугольника, но в данной ситуации мы можем рассмотреть отношение сторон).
Но так как \( \angle OAK = 30^\circ \), и \(OK\) — радиус, а \(KA\) — касательная, то известно:
\[ \sin 30^\circ = \frac{\text{противоположный катет}}{\hypotenuse} \]
Шаг 4: Связь радиуса и касательной
Изначально можно сказать, что:
\[ OK \perp KA, \] и модель треугольника даёт:
\[ KA = R \cdot \tan 30^\circ, \]
поскольку:
\[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]
Тогда:
\[ KA = R \times \frac{1}{\sqrt{3}} \] или, в обратную сторону:
\[ R = KA \times \sqrt{3}. \]
Подставим значение \(KA = 7{,}6 \sqrt{3}\):
\[ R = 7.6 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 7.6 \times 3 = 22.8 \text{ дм}. \]
Шаг 5: Находим длину окружности
Длина окружности:
\[ C = 2 \pi R, \]
подставляем радиус:
\[ C = 2 \pi \times 22.8 = 45.6 \pi, \]
округлим до сотых (при необходимости):
\[ C \approx 45.6 \times 3.14 \approx 143.0 \text{ дм}. \]
Ответ:
\[ \boxed{ C \approx 143 \text{ дм} } \]
Если нужно — ответ оформить в виде: \(45.6 \pi \text{ дм}\).
