реши задания подробно: Контрольная работа по теме «Векторы» Вариант I Задание 1. Заданы координаты точек: А, В, С, Д Найдите: 1) Координаты векторов АВ и СД; 2) Найдите длины…
Реши задания подробно: Контрольная работа по теме «Векторы» Вариант I Задание 1. Заданы координаты точек: А, В, С, Д Найдите: 1) Координаты векторов АВ и СД; 2) Найдите длины векторов АВ и СД 2) Косинус угла между векторами ВА и ВС 3) Скалярное произведение векторов АВ и СД 45 4) Координаты вектора n = АВ -СД 5) Координаты вектора р = 2BC + 5ВД 6) Проверьте перпендикулярность векторов АВ и СД 1. A (1; 2), В (-1; 3) C (3; 0) Д(-2;2) Sau Задание 2. Даны векторы а и b (см. рис. 1). Постройте векторы: 1) = + - b (с помощью правила треугольника); 2 2) d = - + b (с помощью правила параллелограмма); 3) f= ä - b. b Рис. 1
Давайте подробно разберём каждое задание, исходя из данных по контрольной работе по теме «Векторы».
Задание 1: Координаты векторов и их свойства
Даны точки:
- \( A (1, 2) \)
- \( B (-1, 3) \)
- \( C (3, 0) \)
- \( D (-2, 2) \)
1) Координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \)
Вектор \( \vec{AB} \) вычисляется как разность координат точки \( B \) и точки \( A \): \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 1, 3 - 2) = (-2, 1) \]
Аналогично для вектора \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2 - 3, 2 - 0) = (-5, 2) \]
Ответ: \[ \boxed{ \vec{AB} = (-2, 1), \quad \vec{CD} = (-5, 2) } \]
2) Длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \)
Длина вектора \( \vec{V} = (x, y) \) равна: \[ |\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Для \( \vec{AB} = (-2, 1) \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
Для \( \vec{CD} = (-5, 2) \): \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]
Ответ: \[ \boxed{ |\vec{AB}| = \sqrt{5}, \quad |\vec{CD}| = \sqrt{29} } \]
3) Косинус угла между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)
Обрати внимание, что \( \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} \), а поскольку нам нужно угол между векторами, исходными из точки \( B \), то есть векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).
Дополнительно, проще всего найти косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \), так как:
\[ \vec{BA} = - \vec{AB} = (2, -1) \] (так как \( \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 + 1, 2 - 3) = (2, -1) \))
\[ \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (3 - (-1), 0 - 3) = (4, -3) \]
Комтрикулярное произведение:
\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(4) + (-1)(-3) = 8 + 3 = 11 \]
Длины векторов:
\[ |\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Косинус угла \( \theta \) между ними:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{11}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{11}{5 \sqrt{5}} = \frac{11 \sqrt{5}}{25} \]
Ответ: \[ \boxed{ \cos \theta = \frac{11 \sqrt{5}}{25} } \]
4) Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \)
Используем формулу:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-5) + (1)(2) = 10 + 2 = 12 \]
Ответ: \[ \boxed{ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 12 } \]
5) Координаты вектора \( \vec{n} = \vec{AB} - \vec{CD} \)
Вычитываем координаты:
\[ \vec{n} = (-2 - (-5), 1 - 2) = (-2 + 5, -1) = (3, -1) \]
Ответ: \[ \boxed{ \vec{n} = (3, -1) } \]
6) Координаты вектора \( \vec{p} = 2 \vec{BC} + 5 \vec{ВД} \)
Ещё нужно найти \( \vec{ВД} \). Точки В и Д:
\[ \vec{VD} = \vec{D} - \vec{V}, \quad \text{но V — это точка B? Или В — это пункт, вектор В?} \]
Из условия, скорее всего, ошибка в обозначениях, так как они используют \( В \) и \( \( D \) как точки. Предположим, что \( \vec{ВД} \) — это вектор из \( В \) в \( D \):
\[ \vec{VD} = \vec{D} - \vec{В} = (-2 - (-1), 2 - 3) = (-2 + 1, -1) = (-1, -1) \]
Теперь \( \vec{p} \):
\[ \vec{p} = 2 \vec{BC} + 5 \vec{VD} \] где \( \vec{BC} = (4, -3) \),
\[ \vec{p} = 2(4, -3) + 5(-1, -1) = (8, -6) + (-5, -5) = (8 - 5, -6 - 5) = (3, -11) \]
Ответ: \[ \boxed{ \vec{p} = (3, -11) } \]
7) Проверка перпендикулярности векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \)
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-5) + (1)(2) = 10 + 2 = 12 \neq 0 \]
Вывод: Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) НЕ перпендикулярны.
Задание 2: Построение векторов
Из условия:
- Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) даны, рисунок отсутствует, поэтому будем исходить из стандартных операций.
1) Построить \( \vec{a} + \vec{b} \) (по правилу треугольника)
Правило треугольника:
Чтобы сложить два вектора, следуйте правилу — параллельное перемещение второго вектора, начинающегося в точке конца первого.
Результат — это вектор, идущий от начала первого до конца второго.
На графике это изображается как:
\[ \vec{a} + \vec{b} = \textbf{вектор, идущий от начала \( \vec{a} \) к концу \( \vec{b} \) после переноса} \]
2) Построить \( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \) (по правилу параллелограмма)
Правило параллелограмма:
Для вычитания векторов, можно построить параллелограмм, у которых один вектор — диагональ, а второй — сторону.
Результат \( \vec{a} - \vec{b} \) — это вектор, начинающийся в той же точке, что и \( \vec{a} \), и указывающий в противоположную сторону \( \vec{b} \).
3) Построить \( \vec{f} = \vec{a} - \vec{b} \) (условие, идентичное п. 2)
Если это тот же самый вектор, то результат строится аналогично — от конца \( \vec{b} \) к началу \( \vec{a} \).
Если есть конкретные координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), уточняем для вычислений. В противном случае, подходит общий разбор.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее по какому-то из пунктов — напишите!
