Давайте подробно разберём каждое задание, исходя из данных по контрольной работе по теме «Векторы».
Задание 1: Координаты векторов и их свойства
Даны точки:
- ( A (1, 2) )
- ( B (-1, 3) )
- ( C (3, 0) )
- ( D (-2, 2) )
1) Координаты векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} )
Вектор ( \vec{AB} ) вычисляется как разность координат точки ( B ) и точки ( A ):
[
\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 1, 3 - 2) = (-2, 1)
]
Аналогично для вектора ( \vec{CD} ):
[
\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-2 - 3, 2 - 0) = (-5, 2)
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{AB} = (-2, 1), \quad \vec{CD} = (-5, 2)
}
]
2) Длины векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} )
Длина вектора ( \vec{V} = (x, y) ) равна:
[
|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Для ( \vec{AB} = (-2, 1) ):
[
|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]
Для ( \vec{CD} = (-5, 2) ):
[
|\vec{CD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
]
Ответ:
[
\boxed{
|\vec{AB}| = \sqrt{5}, \quad |\vec{CD}| = \sqrt{29}
}
]
3) Косинус угла между векторами ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} )
Обрати внимание, что ( \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} ), а поскольку нам нужно угол между векторами, исходными из точки ( B ), то есть векторами ( \vec{BA} ) и ( \vec{BC} ).
Дополнительно, проще всего найти косинус угла между векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{CB} ), так как:
[
\vec{BA} = - \vec{AB} = (2, -1)
]
(так как ( \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 + 1, 2 - 3) = (2, -1) ))
[
\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (3 - (-1), 0 - 3) = (4, -3)
]
Комтрикулярное произведение:
[
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (2)(4) + (-1)(-3) = 8 + 3 = 11
]
Длины векторов:
[
|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]
[
|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
]
Косинус угла ( \theta ) между ними:
[
\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{11}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{11}{5 \sqrt{5}} = \frac{11 \sqrt{5}}{25}
]
Ответ:
[
\boxed{
\cos \theta = \frac{11 \sqrt{5}}{25}
}
]
4) Скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} )
Используем формулу:
[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-5) + (1)(2) = 10 + 2 = 12
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 12
}
]
5) Координаты вектора ( \vec{n} = \vec{AB} - \vec{CD} )
Вычитываем координаты:
[
\vec{n} = (-2 - (-5), 1 - 2) = (-2 + 5, -1) = (3, -1)
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{n} = (3, -1)
}
]
6) Координаты вектора ( \vec{p} = 2 \vec{BC} + 5 \vec{ВД} )
Ещё нужно найти ( \vec{ВД} ). Точки В и Д:
[
\vec{VD} = \vec{D} - \vec{V}, \quad \text{но V — это точка B? Или В — это пункт, вектор В?}
]
Из условия, скорее всего, ошибка в обозначениях, так как они используют ( В ) и ( ( D ) как точки. Предположим, что ( \vec{ВД} ) — это вектор из ( В ) в ( D ):
[
\vec{VD} = \vec{D} - \vec{В} = (-2 - (-1), 2 - 3) = (-2 + 1, -1) = (-1, -1)
]
Теперь ( \vec{p} ):
[
\vec{p} = 2 \vec{BC} + 5 \vec{VD}
]
где ( \vec{BC} = (4, -3) ),
[
\vec{p} = 2(4, -3) + 5(-1, -1) = (8, -6) + (-5, -5) = (8 - 5, -6 - 5) = (3, -11)
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{p} = (3, -11)
}
]
7) Проверка перпендикулярности векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} )
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-2)(-5) + (1)(2) = 10 + 2 = 12 \neq 0
]
Вывод: Векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} ) НЕ перпендикулярны.
Задание 2: Построение векторов
Из условия:
- Векторы ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ) даны, рисунок отсутствует, поэтому будем исходить из стандартных операций.
1) Построить ( \vec{a} + \vec{b} ) (по правилу треугольника)
Правило треугольника:
Чтобы сложить два вектора, следуйте правилу — параллельное перемещение второго вектора, начинающегося в точке конца первого.
Результат — это вектор, идущий от начала первого до конца второго.
На графике это изображается как:
[
\vec{a} + \vec{b} = \textbf{вектор, идущий от начала ( \vec{a} ) к концу ( \vec{b} ) после переноса}
]
2) Построить ( \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} ) (по правилу параллелограмма)
Правило параллелограмма:
Для вычитания векторов, можно построить параллелограмм, у которых один вектор — диагональ, а второй — сторону.
Результат ( \vec{a} - \vec{b} ) — это вектор, начинающийся в той же точке, что и ( \vec{a} ), и указывающий в противоположную сторону ( \vec{b} ).
3) Построить ( \vec{f} = \vec{a} - \vec{b} ) (условие, идентичное п. 2)
Если это тот же самый вектор, то результат строится аналогично — от конца ( \vec{b} ) к началу ( \vec{a} ).
Если есть конкретные координаты векторов ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ), уточняем для вычислений. В противном случае, подходит общий разбор.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее по какому-то из пунктов — напишите!
