Сколько существует различных шестизначных чисел, у которых третья цифра три, пятая цифра пять, а остальные цифры чётные? цифры в записи числа не должны повторяться

Давайте решим задачу поэтапно. **Условие задачи:** - Число шестизначное: \(_ _ _ _ _ _\) - Третья цифра равна 3: \(_ _ 3 _ _ _\) - Пятая цифра равна 5: \(_ _ 3 _ 5 _\) - Остальные цифры (первая, вторая, четвертая, шестая) — чётные. - Цифры не могут повторяться. --- ### Шаг 1: Определение известных и возможных цифр - Число имеет вид: \(\_\_\ 3 \_\ 5 \_\) - Остальные цифры — чётные: 0, 2, 4, 6, 8 - Цифра 3 и 5 уже использованы, они не могут повторяться. ### Шаг 2: Распределение цифр по позициям Позиции: 1-я — неизвестная, 2-я — неизвестная, 3-я — уже 3, 4-я — неизвестная, 5-я — уже 5, 6-я — неизвестная. Остальные цифры для позиций 1, 2, 4, 6: только чётные цифры, кроме 3 и 5 (уже используемых). Допустимые цифры для этих позиций: 0, 2, 4, 6, 8, но 3 и 5 исключены, их мы уже используем. --- ### Шаг 3: Исключения и особенности - **Первая цифра:** не может быть нулём, иначе число станет пятизначным. Значит, для первой цифры возможные цифры: 2, 4, 6, 8. - **Цифры 3 и 5:** уже использованы для позиции 3 и 5, соответственно. - **Для других позиций:** оставшиеся чётные цифры — 0, 2, 4, 6, 8, за исключением уже использованных в позициях 1 и 3 (3 и 5). Но при рассмотрении — цифра 0 допустима для позиций 2, 4, 6, если она не занята. --- ### Шаг 4: Подсчет способов для каждой позиции #### Первая позиция (1-я цифра): Могут быть: 2, 4, 6, 8 (несимволизируя ноль, чтобы число было шестизначным). Итак, **4 варианта**. --- #### Остаток цифр для остальных позиций: - После выбора первой цифры, остаются 4 цифры из набора {0, 2, 4, 6, 8} (за исключением уже использованной, а именно, если мы выбрали, скажем, 2, то остаются 0, 4, 6, 8). - Но поскольку цифры 3 и 5 уже заняты для позиций 3 и 5, эти места фиксированы. - Остальные цифры для позиций 2, 4, 6 — из оставшихся, без повторений. --- ### Шаг 5: Общее количество вариантов для оставшихся трех позиций (2, 4, 6) Значит, после выбора первой цифры, для позиций 2, 4 и 6 нужно выбрать 3 цифры из оставшихся (из 0, 2, 4, 6, 8), которые не использованы. Теперь посмотрим подробнее: - Если в первой позиции мы выбрали 2, остаток цифр: 0, 4, 6, 8. - Для позиции 2: выбор любой из 4 цифр (остальные 3 уйдут для позиций 4 и 6). - Так как цифры не повторяются, для позиции 2 у нас 4 варианта. - Для позиции 4: после выбора цифры для позиции 2, остается 3 цифры. - Для позиции 6: остается 2 цифры. Итого, для фиксированной первой цифры: \[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \] --- ### Шаг 6: Итоговое количество вариантов Общее число — сумма по всем возможным вариантам первой цифры: \[ 4 \text{ (варианта для первой цифры)} \times 24 \text{ (распределение для остальных трех позиций)} = 96 \] --- ### **Ответ:** **Количество различных шестизначных чисел, удовлетворяющих условиям, равно: \(\boxed{96}\).** Если нужно более подробное объяснение по любому из шагов, скажите!