Вычисли площадь круга, если хорда ЕФ равна 8,5 м и центральный угол ФОЕ равен 60 градусов
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Длина хорды ЕФ = 8,5 м
- Центральный угол ФОЕ = 60°
Задача: найти площадь круга.
Шаг 1: Понимание задачи
- Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Центральный угол ФОЕ — угол, вершина которого в центре круга, и стороны — радиусы, исходящие из центра к точкам на окружности.
Нам нужно найти площадь круга, то есть \( S = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус.
Чтобы найти \( R \), воспользуемся данными о хорде и угле.
Шаг 2: Связь между длиной хорды, радиусом и углом
Формула длины хорды \(e\) при известном радиусе \( R \) и центральном угле \( \theta \) (в радианах):
\[ e = 2 R \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \]
где:
- \( e = 8,5 \) м
- \( \theta = 60^\circ \)
Переведем угол в радианы:
\[ \theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ радиан} \]
Тогда половина угла:
\[ \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{6} \]
Значение синуса:
\[ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \]
Шаг 3: Вычисление радиуса \( R \)
Подставим значения в формулу:
\[ 8,5 = 2 R \times \frac{1}{2} \]
\[ 8,5 = R \]
Радиус \( R = 8,5 \) м.
Шаг 4: Находим площадь круга
Формула площади:
\[ S = \pi R^2 \]
Подставляем \( R = 8,5 \):
\[ S = \pi \times (8,5)^2 = \pi \times 72,25 \]
Посчитаем числовое значение:
\[ S \approx 3,1416 \times 72,25 \approx 226,9 \text{ м}^2 \]
Ответ:
Площадь круга примерно равна 226,9 м².
