На тарелке лежат  37 37 пирожков: с вишней и с капустой. Известно, что среди любых  20 20 пирожков есть хотя бы один с вишней, а среди любых  19 19 есть хотя бы один с капустой. Сколько пирожков с капустой?

Обозначим: - \( x \) — число пирожков с вишней, - \( y \) — число пирожков с капустой. Общее число пирожков: \[ x + y = 37 \] Дано условия: 1. В каждом наборе из 20 пирожков есть хотя бы один с вишней. Это значит, что нельзя выбрать 20 пирожков, не содержащих пирожки с вишней. Следовательно, количество пирожков без вишни (то есть с капустой) не может быть 20 или больше, так как тогда можно было бы выбрать 20 пирожков только из капустных. То есть: \[ y \leq 19 \] 2. В каждом наборе из 19 пирожков есть хотя бы один с капустой. Аналогично, нельзя выбрать 19 пирожков без капусты. Значит, число пирожков с вишней, которые можно выбрать без капусты, не может быть 19 или больше. То есть: \[ x \leq 18 \] Теперь используем эти неравенства вместе с уравнением \( x + y = 37 \): - Так как \( y \leq 19 \), и при этом \( y = 37 - x \), то \[ 37 - x \leq 19 \implies x \geq 18 \] - Аналогично, так как \( x \leq 18 \), то \[ x \leq 18 \] Объединим эти: \[ x \geq 18 \quad \text{и} \quad x \leq 18 \] Отсюда: \[ x = 18 \] Следовательно, \( y = 37 - 18 = 19 \). **Ответ:** Пирожков с капустой — \(\boxed{19}\).