На тарелке лежат 37 37 пирожков: с вишней и с капустой. Известно, что среди любых 20 20 пирожков есть хотя бы один с вишней, а среди любых 19 19 есть хотя бы один с капустой.…

Обозначим:

• \( x \) — число пирожков с вишней,
• \( y \) — число пирожков с капустой.

Общее число пирожков:
\[ x + y = 37 \]

Дано условия:

1. В каждом наборе из 20 пирожков есть хотя бы один с вишней.
   Это значит, что нельзя выбрать 20 пирожков, не содержащих пирожки с вишней. Следовательно, количество пирожков без вишни (то есть с капустой) не может быть 20 или больше, так как тогда можно было бы выбрать 20 пирожков только из капустных.
   То есть:
   \[ y \leq 19 \]

2. В каждом наборе из 19 пирожков есть хотя бы один с капустой.
   Аналогично, нельзя выбрать 19 пирожков без капусты. Значит, число пирожков с вишней, которые можно выбрать без капусты, не может быть 19 или больше.
   То есть:
   \[ x \leq 18 \]

Теперь используем эти неравенства вместе с уравнением \( x + y = 37 \):

• Так как \( y \leq 19 \), и при этом \( y = 37 - x \), то
  \[ 37 - x \leq 19 \implies x \geq 18 \]
• Аналогично, так как \( x \leq 18 \), то
  \[ x \leq 18 \]

Объединим эти:
\[ x \geq 18 \quad \text{и} \quad x \leq 18 \] Отсюда:
\[ x = 18 \]

Следовательно, \( y = 37 - 18 = 19 \).

Ответ:
Пирожков с капустой — \(\boxed{19}\).