Постройте график функции у=8/х. По графику определите, при каких значения х: а) у>8 б) у>или равно -4 в) у<4 г) у< или равно -2

Рассмотрим функцию \( y = \frac{8}{x} \). 1. График функции — это гипербола с асимптотами по осям \( x = 0 \) и \( y = 0 \). 2. Чтобы примерно нарисовать график, отметим несколько значений \( x \): - \( x = 1 \), тогда \( y = 8/1 = 8 \) - \( x = 2 \), тогда \( y = 8/2 = 4 \) - \( x = 4 \), тогда \( y = 8/4 = 2 \) - \( x = 8 \), тогда \( y = 8/8 = 1 \) Также для отрицательных \( x \): - \( x = -1 \), тогда \( y = -8 \) - \( x = -2 \), тогда \( y = -4 \) - \( x = -4 \), тогда \( y = -2 \) - \( x = -8 \), тогда \( y = -1 \) Теперь давайте решим задачи на основе графика. --- **а) при каких \( x \) у > 8** Рассмотрим \( y > 8 \): \[ \frac{8}{x} > 8 \] Умножим обе части на \( x \), учитывая знак: - Для положительных \( x \): \[ 8 > 8x \] Поскольку \( x > 0 \), умножение на \( x \) не меняет знак неравенства: \[ 8 > 8x \Rightarrow x < 1 \] (так как делим обе части на 8). - Для отрицательных \( x \), при умножении на \( x \) знак неравенства меняется: \[ 8 > 8x \] Нет, это неправильно, потому что деление на отрицательное число меняет знак. Выведем по-другому: - Для \( x > 0 \): \[ y = \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow 8 > 8x \Rightarrow x < 1 \] Но \( x > 0 \) и \( x < 1 \), следовательно, \( 0 < x < 1 \). - Для \( x < 0 \): \[ \frac{8}{x} > 8 \] Значит \( \frac{8}{x} > 8 \), при \( x < 0 \): Умножим обе части на \( x \), которое отрицательное, знак неравенства меняется: \[ 8 < 8x \] Правильно? Нет, лучше подставим конкретные значения: - Для \( x = -1 \): \[ y = -8 \] лежит ли это больше 8? Нет. - Для \( x = -0.5 \): \[ y = -16 \] Нет. - Для очень маленьких отрицательных \( x \): \( y \) приближается к 0 с отрицательной стороны, то есть \( y < 0 \). Следовательно, выражение \( y > 8 \) возможно только при \( x \in (0, 1) \). **Ответ:** при \( x \in (0, 1) \). --- **б) у ≥ -4** // Решим \( \frac{8}{x} \geq -4 \) - Умножим на \( x \): - Для \( x > 0 \): \[ \frac{8}{x} \geq -4 \Rightarrow 8 \geq -4x \] \[ -4x \leq 8 \Rightarrow x \geq -2 \] Поскольку \( x > 0 \), то \( x \in (0, \infty) \). И объединяем с условием: \[ x \geq -2 \]. Но так как \( x > 0 \), условие автоматом выполнено. Значит, для \( x > 0 \): \[ y \geq -4 \quad \text{всегда верно} \]. Проверим на отрицательных \( x \): - \( x < 0 \): \[ \frac{8}{x} \geq -4 \] Умножим на \( x \) (отрицательное): \[ 8 \leq -4x \] \[ -4x \geq 8 \] \[ x \leq -2 \] Поскольку \( x < 0 \), то \( x \leq -2 \). **Ответ:** - для \( x > 0 \), \( y \geq -4 \) — всегда выполняется; - для \( x \leq -2 \), также \( y \geq -4 \). Значит, значение \( y \geq -4 \): \[ x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty) \] --- **в) y < 4** Рассмотрим: \[ \frac{8}{x} < 4 \] - для \( x > 0 \): \[ \frac{8}{x} < 4 \Rightarrow 8 < 4x \Rightarrow x > 2 \] - для \( x < 0 \): \[ \frac{8}{x} < 4 \] Поскольку \( x < 0 \), умножим обе стороны на \( x \): \[ 8 > 4x \quad (\так как умножение на отрицательное меняет знак) \] и при этом, исходное неравенство было \( \frac{8}{x} < 4 \), то после умножения на отрицательное \( x \): \[ 8 > 4x \Rightarrow x < 2 \] Но \( x < 0 \), и \( x < 2 \) — это всегда, а условие по условию, что \( y < 4 \), то есть \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \)? Нет, это не так. Давайте централизируем: - Для \( x > 0 \): \[ x > 2 \] - Для \( x < 0 \): Исходное неравенство: \[ \frac{8}{x} < 4 \] Поскольку \( x < 0 \), делаем: \[ 8 < 4x \] \[ x > 2 \] Но \( x < 0 \), значит условие не выполняется для отрицательных \( x \). **Итак, ответ:** \[ x > 2 \] на области действительности. --- **г) \( y \leq -2 \)** Решим: \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] - для \( x > 0 \): \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] Но \( \frac{8}{x} > 0 \) при \( x > 0 \), а левая часть — положительная, правая — отрицательная, потому неравенство невозможно. - для \( x < 0 \): \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] Поскольку \( x < 0 \), делим обе части на \( x \): \[ 8 \geq -2x \] \[ -2x \leq 8 \Rightarrow x \geq -4 \] Но так как \( x < 0 \), и \( x \geq -4 \), то: \[ x \in [-4, 0) \] Проверим на границе: - \( x = -4 \): \[ y = 8 / (-4) = -2 \] гарантирует \( y \leq -2 \), потому — подходит. - \( x \to 0^-\): \[ y \to -\infty \] тоже подходит. **Ответ:** \( x \in [-4, 0) \). --- **Общий итог:** - а) \( x \in (0, 1) \) - б) \( x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty) \) - в) \( x > 2 \) - г) \( x \in [-4, 0) \) Если нужно построить график, отметьте точки на гиперболе и овладейте областями решений по каждому условию. --- Если потребуется, я могу помочь вам изобразить графики или уточнить решения.