Постройте график функции у=8/х. По графику определите, при каких значения х: а) у>8 б) у>или равно -4 в) у<4 г) у< или равно -2
Рассмотрим функцию \( y = \frac{8}{x} \).
График функции — это гипербола с асимптотами по осям \( x = 0 \) и \( y = 0 \).
Чтобы примерно нарисовать график, отметим несколько значений \( x \):
- \( x = 1 \), тогда \( y = 8/1 = 8 \)
- \( x = 2 \), тогда \( y = 8/2 = 4 \)
- \( x = 4 \), тогда \( y = 8/4 = 2 \)
- \( x = 8 \), тогда \( y = 8/8 = 1 \)
Также для отрицательных \( x \):
- \( x = -1 \), тогда \( y = -8 \)
- \( x = -2 \), тогда \( y = -4 \)
- \( x = -4 \), тогда \( y = -2 \)
- \( x = -8 \), тогда \( y = -1 \)
Теперь давайте решим задачи на основе графика.
а) при каких \( x \) у > 8
Рассмотрим \( y > 8 \):
\[ \frac{8}{x} > 8 \]
Умножим обе части на \( x \), учитывая знак:
- Для положительных \( x \):
\[ 8 > 8x \]
Поскольку \( x > 0 \), умножение на \( x \) не меняет знак неравенства:
\[ 8 > 8x \Rightarrow x < 1 \]
(так как делим обе части на 8).
- Для отрицательных \( x \), при умножении на \( x \) знак неравенства меняется:
\[ 8 > 8x \]
Нет, это неправильно, потому что деление на отрицательное число меняет знак.
Выведем по-другому:
- Для \( x > 0 \):
\[ y = \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow 8 > 8x \Rightarrow x < 1 \]
Но \( x > 0 \) и \( x < 1 \), следовательно, \( 0 < x < 1 \).
- Для \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} > 8 \]
Значит \( \frac{8}{x} > 8 \), при \( x < 0 \):
Умножим обе части на \( x \), которое отрицательное, знак неравенства меняется:
\[ 8 < 8x \]
Правильно?
Нет, лучше подставим конкретные значения:
- Для \( x = -1 \):
\[ y = -8 \]
лежит ли это больше 8? Нет.
- Для \( x = -0.5 \):
\[ y = -16 \]
Нет.
- Для очень маленьких отрицательных \( x \):
\( y \) приближается к 0 с отрицательной стороны, то есть \( y < 0 \).
Следовательно, выражение \( y > 8 \) возможно только при \( x \in (0, 1) \).
Ответ: при \( x \in (0, 1) \).
б) у ≥ -4
// Решим \( \frac{8}{x} \geq -4 \)
Умножим на \( x \):
Для \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \Rightarrow 8 \geq -4x \]
\[ -4x \leq 8 \Rightarrow x \geq -2 \]
Поскольку \( x > 0 \), то \( x \in (0, \infty) \). И объединяем с условием:
\[ x \geq -2 \].
Но так как \( x > 0 \), условие автоматом выполнено.
Значит, для \( x > 0 \):
\[ y \geq -4 \quad \text{всегда верно} \].
Проверим на отрицательных \( x \):
- \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \]
Умножим на \( x \) (отрицательное):
\[ 8 \leq -4x \]
\[ -4x \geq 8 \]
\[ x \leq -2 \]
Поскольку \( x < 0 \), то \( x \leq -2 \).
Ответ:
- для \( x > 0 \), \( y \geq -4 \) — всегда выполняется;
- для \( x \leq -2 \), также \( y \geq -4 \).
Значит, значение \( y \geq -4 \):
\[ x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty) \]
в) y < 4
Рассмотрим:
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
- для \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} < 4 \Rightarrow 8 < 4x \Rightarrow x > 2 \]
- для \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
Поскольку \( x < 0 \), умножим обе стороны на \( x \):
\[ 8 > 4x \quad (\так как умножение на отрицательное меняет знак) \] и при этом, исходное неравенство было \( \frac{8}{x} < 4 \), то после умножения на отрицательное \( x \):
\[ 8 > 4x \Rightarrow x < 2 \]
Но \( x < 0 \), и \( x < 2 \) — это всегда, а условие по условию, что \( y < 4 \), то есть \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \)?
Нет, это не так. Давайте централизируем:
- Для \( x > 0 \):
\[ x > 2 \]
- Для \( x < 0 \):
Исходное неравенство:
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
Поскольку \( x < 0 \), делаем:
\[ 8 < 4x \]
\[ x > 2 \]
Но \( x < 0 \), значит условие не выполняется для отрицательных \( x \).
Итак, ответ:
\[ x > 2 \]
на области действительности.
г) \( y \leq -2 \)
Решим:
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
- для \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
Но \( \frac{8}{x} > 0 \) при \( x > 0 \), а левая часть — положительная, правая — отрицательная, потому неравенство невозможно.
- для \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
Поскольку \( x < 0 \), делим обе части на \( x \):
\[ 8 \geq -2x \]
\[ -2x \leq 8 \Rightarrow x \geq -4 \]
Но так как \( x < 0 \), и \( x \geq -4 \), то:
\[ x \in [-4, 0) \]
Проверим на границе:
- \( x = -4 \):
\[ y = 8 / (-4) = -2 \]
гарантирует \( y \leq -2 \), потому — подходит.
- \( x \to 0^-\):
\[ y \to -\infty \]
тоже подходит.
Ответ: \( x \in [-4, 0) \).
Общий итог:
- а) \( x \in (0, 1) \)
- б) \( x \in (-\infty, -2] \cup (0, \infty) \)
- в) \( x > 2 \)
- г) \( x \in [-4, 0) \)
Если нужно построить график, отметьте точки на гиперболе и овладейте областями решений по каждому условию.
Если потребуется, я могу помочь вам изобразить графики или уточнить решения.
