Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, её боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.
Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды \( d = 12\,см \).
- Боковая грань образует с плоскостью основания угол \( 45° \).
Нам нужно найти объем пирамиды \( V \).
Шаг 1. Построение схемы и обозначения
Обозначим:
- Основание — квадрат со стороной \( a \).
- Центр основания — точка \( O \).
- Вершина пирамиды — точка \( S \).
- Диагональ квадрата (основания) — \( d = 12\,см \).
Поскольку основание — квадрат, диагональ связана со стороной как:
\[
d = a \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\,см
\]
Шаг 2. Определение высоты пирамиды \( h \)
Из условия: боковая грань образует угол \( 45° \) с плоскостью основания.
Рассмотрим боковую грань — это равнобедренный треуголь, у которого:
- одна сторона — боковая грань \( s \),
- основание — сторону квадрата \( a \).
- вершина — точка \( S \), лежащая на высоте \( h \) из центра основания.
Допустим, \( T \) — точка на боковой грани, где боковая граня касается пирамиды ( вершина \( S \)).
Шаг 3. Связь между уголком и высотой
Пусть \( \alpha = 45° \) — угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Тогда вот какая картинка:
- Проекция боковой грани — это треугольник, у которого один из углов \( 45° \).
Рассмотрим треугольник, образованный:
- вертикальной проекцией \( h \) (высота),
- половиной стороны основания \( a/2 \),
- боковой гранью \( s \).
Шаг 4. Взаимосвязь сторон и угла
Припустим, что точка \( S \) — вершина пирамиды, а \( O \) — центр основания.
Расстояние от \( O \) до любой вершины квадрата — это половина диагонали: \( d/2 = 6\,см \).
Обозначим:
- \( R := \) расстояние от \( O \) до любой боковой грани в основании — равно \( a/\sqrt{2} = 6\,см \).
- Высота \( h \).
Если рассматривать треугольник, образованный точками \( S \), \( O \), и точку основания, то:
- проекция \( S \) на основание — это \( O \).
- расстояние \( SO \) — совокупное высоту \( h \).
Шаг 5. Связь между высотой \( h \), боковой гранью \( s \), и углом \( 45° \)
Наиболее важное — это понять, как угол между боковой гранью и плоскостью основания связан с двумя линиями:
- боковая грань \( s \) образует с плоскостью основания угол \( 45° \).
Рассмотрим треугольник, образованный:
- высотой \( h \),
- половиной стороны основания \( a/2 \),
- боковой гранью \( s \).
Известно, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \( 45° \).
Это означает:
\[ \cos 45° = \frac{\text{проект боковой грани на плоскость}}{s} \]
Т.к. боковая грань — гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где один катет — высота \( h \), другой — расстояние от \( S \) до центра основания (равно \( R = 6\,см \)).
Итог: связи высоты и боковой грани
Из тригонометрии:
\[
\cos 45° = \frac{h}{s}
\]
Значит:
\[
h = s \cos 45° = \frac{s}{\sqrt{2}}
\]
Шаг 6. Находим \( s \)
Боковая грань \( s \) — связана с основанием и высотой через прямоугольный треугольник:
Рассмотрим треугольник:
- вертикальный — высота \( h \),
- горизонтальный — половина стороны основания \( a/2 = 3\sqrt{2} \).
Легко заметить, что поверхность боковой грандины поднимается по этим линиям.
Перепишем:
\[
s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]
Подставим \( h = \frac{s}{\sqrt{2}} \):
\[ s^2 = \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)^2 + (3\sqrt{2})^2 \]
Рассчитаем:
\[
s^2 = \frac{s^2}{2} + 18
\]
Перенесем всё в уравнение:
\[ s^2 - \frac{s^2}{2} = 18 \] \[ \frac{s^2}{2} = 18 \] \[ s^2 = 36 \] \[ s = 6\,см \]
Шаг 7. Наконец, находим высоту \( h \)
\[ h = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\,см \]
Шаг 8. Объем пирамиды
Объем правильной пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times h \]
Площадь основания — это квадрат со стороной \( a = 6\sqrt{2} \):
\[ S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72\,см^2 \]
Подставляем все значения:
\[ V = \frac{1}{3} \times 72 \times 3\sqrt{2} = 24 \times 3\sqrt{2} = 72 \sqrt{2}\,см^3 \]
Иттер:
Ответ: \(\boxed{72 \sqrt{2}\,см^3}\)
Объем пирамиды равен примерно \( 101.8\,\text{см}^3 \), так как \(\sqrt{2} \approx 1.414\).
