Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, её боковая грань образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим задачу пошагово. **Дано:** - Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды \( d = 12\,см \). - Боковая грань образует с плоскостью основания угол \( 45° \). Нам нужно найти объем пирамиды \( V \). --- ### Шаг 1. Построение схемы и обозначения Обозначим: - Основание — квадрат со стороной \( a \). - Центр основания — точка \( O \). - Вершина пирамиды — точка \( S \). - Диагональ квадрата (основания) — \( d = 12\,см \). Поскольку основание — квадрат, диагональ связана со стороной как: \[ d = a \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\,см \] --- ### Шаг 2. Определение высоты пирамиды \( h \) Из условия: боковая грань образует угол \( 45° \) с плоскостью основания. Рассмотрим боковую грань — это равнобедренный треуголь, у которого: - одна сторона — боковая грань \( s \), - основание — сторону квадрата \( a \). - вершина — точка \( S \), лежащая на высоте \( h \) из центра основания. Допустим, \( T \) — точка на боковой грани, где боковая граня касается пирамиды ( вершина \( S \)). --- ### Шаг 3. Связь между уголком и высотой Пусть \( \alpha = 45° \) — угол между боковой гранью и плоскостью основания. Тогда вот какая картинка: - Проекция боковой грани — это треугольник, у которого один из углов \( 45° \). Рассмотрим треугольник, образованный: - вертикальной проекцией \( h \) (высота), - половиной стороны основания \( a/2 \), - боковой гранью \( s \). --- ### Шаг 4. Взаимосвязь сторон и угла Припустим, что точка \( S \) — вершина пирамиды, а \( O \) — центр основания. Расстояние от \( O \) до любой вершины квадрата — это половина диагонали: \( d/2 = 6\,см \). Обозначим: - \( R := \) расстояние от \( O \) до любой боковой грани в основании — равно \( a/\sqrt{2} = 6\,см \). - Высота \( h \). Если рассматривать треугольник, образованный точками \( S \), \( O \), и точку основания, то: - проекция \( S \) на основание — это \( O \). - расстояние \( SO \) — совокупное высоту \( h \). --- ### Шаг 5. Связь между высотой \( h \), боковой гранью \( s \), и углом \( 45° \) Наиболее важное — это понять, как угол между боковой гранью и плоскостью основания связан с двумя линиями: - боковая грань \( s \) образует с плоскостью основания угол \( 45° \). Рассмотрим треугольник, образованный: - высотой \( h \), - половиной стороны основания \( a/2 \), - боковой гранью \( s \). Известно, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен \( 45° \). Это означает: \[ \cos 45° = \frac{\text{проект боковой грани на плоскость}}{s} \] Т.к. боковая грань — гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где один катет — высота \( h \), другой — расстояние от \( S \) до центра основания (равно \( R = 6\,см \)). --- ### Итог: связи высоты и боковой грани Из тригонометрии: \[ \cos 45° = \frac{h}{s} \] Значит: \[ h = s \cos 45° = \frac{s}{\sqrt{2}} \] --- ### Шаг 6. Находим \( s \) Боковая грань \( s \) — связана с основанием и высотой через прямоугольный треугольник: Рассмотрим треугольник: - вертикальный — высота \( h \), - горизонтальный — половина стороны основания \( a/2 = 3\sqrt{2} \). Легко заметить, что поверхность боковой грандины поднимается по этим линиям. Перепишем: \[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим \( h = \frac{s}{\sqrt{2}} \): \[ s^2 = \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)^2 + (3\sqrt{2})^2 \] Рассчитаем: \[ s^2 = \frac{s^2}{2} + 18 \] Перенесем всё в уравнение: \[ s^2 - \frac{s^2}{2} = 18 \] \[ \frac{s^2}{2} = 18 \] \[ s^2 = 36 \] \[ s = 6\,см \] --- ### Шаг 7. Наконец, находим высоту \( h \) \[ h = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\,см \] --- ### Шаг 8. Объем пирамиды Объем правильной пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times h \] Площадь основания — это квадрат со стороной \( a = 6\sqrt{2} \): \[ S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72\,см^2 \] Подставляем все значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 72 \times 3\sqrt{2} = 24 \times 3\sqrt{2} = 72 \sqrt{2}\,см^3 \] --- ## Иттер: **Ответ:** \(\boxed{72 \sqrt{2}\,см^3}\) Объем пирамиды равен примерно \( 101.8\,\text{см}^3 \), так как \(\sqrt{2} \approx 1.414\).