А 11.54. Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались неза висимо друг от друга в три разные норы. В каком из ин-тервалов лежит вероятность указанного события? Событие [0; 0,3) Вероятность Нет пустых нор [0,2; 0,4) [0,4; 0,6) [0,6;0,8) В первой норе три кролика Ровно одна нора пуста В одной норе четыре кроли-ка, в остальных поровну В одной норе два кролика, в остальных поровну

Давайте по порядку разберем каждое событие и определим вероятность его наступления. У нас есть 10 кроликов, разбросанных по 3 различным норам, причем разброс происходит независимо друг от друга, и нам нужно определить, в каком интервале лежит вероятность каждого события. --- ### 1. Нет пустых нор Это событие означает, что каждая из трех нор содержит хотя бы одного кролика. Общее число способов расположить 10 кроликов по 3 норам, где нора может быть пуста или нет, равно \( 3^{10} \). Теперь найдем число случаев, при которых ни одна нора не пуста. - Общее число способов разместить кроликов так, чтобы все норы были заняты (то есть, каждая нора содержит хотя бы одного кролика): Используем принцип включения-исключения: Общее число расположений: \( 3^{10} \) Минус расположения, где одна или две норы пусты: - Если одна нора пуста: для двух нор осталось 10 кроликов (по просто), распределение: \( 2^{10} = 1024 \) способа. - Так как три норы могут быть выбраны для пустоты: \( C_3^1 = 3 \), всего: \( 3 \times 2^{10} \) - Если две норы пусты: тогда все кролики в одной норе, лишь 3 варианта (в какую): \( C_3^2 = 3 \) - Тогда, по принципу включения-исключения, число способов, когда все норы заняты: \[ N = 3^{10} - 3 \times 2^{10} + 3 \] Вероятность события: \[ P = \frac{N}{3^{10}} = \frac{3^{10} - 3 \times 2^{10} + 3}{3^{10}} \] чтобы найти числовое значение, подставим: \[ 3^{10} = 59049 \] \[ 2^{10} = 1024 \] тогда: \[ P = \frac{59049 - 3 \times 1024 + 3}{59049} = \frac{59049 - 3072 + 3}{59049} = \frac{55980}{59049} \approx 0,949 \] Это чуть больше 0.9, то есть вероятность **больше 0,8** — это подходит под интервал \([0,6;0,8)\) или выше. Но по условию, интервалы даны такие: - \([0; 0,3)\) — слишком мало; - \([0,2; 0,4)\) — чуть выше 0,2-0,4; - \([0,4; 0,6)\) — еще ниже 0,6; - \([0,6; 0,8)\) — идет вероятность примерно 0,95 — значит подходит. **Ответ: \([0,6; 0,8)\)** --- ### 2. Ровно одна нора пуста Это событие значит, что одна нора пустая, а две заняты. Общее число способов, выбираем нору для пустоты: 3 варианта. Для двух занятых нор: разместить всех 10 кроликов так, чтобы каждая нора содержала хотя бы одного кролика. Отдельное рассмотрение: Выбираем, какая нора пустая: 3 варианта. Затем, делим оставшихся 10 кроликов между двумя норами так, чтобы обе нора не были пустыми. - Распределение двух нор: **каждая содержит хотя бы одного кролика**. Общее число вариантов для этого — разделить 10 кроликов между двумя норами с условием, что обе норы содержат хотя бы 1 кролика: Это число — число решений уравнения: \[ x + y = 10, \quad x \ge 1, y \ge 1 \] Количество таких решений: \( (10 - 1) = 9 \). Каждое решение соответствует способу, когда одна нора содержит \(x\) кроликов, а другая — \(y=10 - x\). Поскольку можно выбрать для какой норы пустой, а другие две заполнять, общее число вариантов: \[ 3 \times 9 = 27 \] Общее число всех возможных распределений кроликов по 3 норам — \(3^{10} = 59049\). Вероятность: \[ P = \frac{27}{59049} \approx 0,000456 \] Это очень малая вероятность, явно не входит в интервал \([0; 0,3)\), и, по логике, лежит в области около 0,0004. --- ### 3. В одной норе четыре кролика, в остальных поровну Обозначим, какая нора содержит 4 кролика — выберем её: 3 варианта. Допустим, эта нора — первая. Тогда остальные 6 кроликов нужно разбить на две норы по 3 кролика. Рассмотрим вариант: - В первой норе: 4 кролика. - Во второй норе: 3 кролика. - В третьей норе: 3 кролика. Число способов выбрать 4 кролика для первой норы из 10: \[ C_{10}^4 = 210 \] Затем разместить 6 оставшихся кроликов по двум норам по 3 кролика: число вариантов: \[ C_6^3 = 20 \] (выбираем 3 кролика для второй норы, остальные 3 идут в третью). Общее число: \[ 3 \text{ (выбор норы)} \times 210 \times 20 = 3 \times 210 \times 20 = 12600 \] Вероятность: \[ P = \frac{12600}{59049} \approx 0,213 \] Это находится в диапазоне \([0,2; 0,4)\). --- ### 4. В одной норе два кролика, в остальных поровну Здесь вариант: одна нора содержит 2 кролика, две норы — по 4 кролика (так как суммарно 10 кроликов). Находим число случаев: - Выбрать нору, которая содержит 2 кролика: 3 варианта. - В неё выбрать 2 кролика из 10: \( C_{10}^2=45 \). - Оставшиеся 8 кроликов делим между двумя норами поровну по 4. Это количество способов выбрать 4 кролика для норы №2 из оставшихся 8: \[ C_8^4=70 \] Остальные 4 кролика — идут в третью нору. Общее число способов: \[ 3 \times 45 \times 70 = 3 \times 45 \times 70= 9450 \] Вероятность: \[ P = \frac{9450}{59049} \approx 0,16 \] Это входит в интервал \([0,2; 0,4)\). --- ## Итоговые ответы: 1. **Нет пустых нор** — вероятность около 0,95 — **лежит в интервале \([0,6; 0,8)\)**. 2. **Ровно одна нора пуста** — очень малая вероятность, около 0,0004 — вне указанных интервалов. 3. **В одной норе четыре кролика, в остальных поровну** — вероятность около 0,213 — **\([0,2;0,4)\)**. 4. **В одной норе два кролика, в остальных поровну** — вероятность около 0,16 — **\([0,2;0,4)\)**. --- Если нужно выбрать один наиболее подходящий интервал для всех или для каждой ситуации, то: - Для первого события — **\([0,6; 0,8)\)**. - Для третьего и четвертого — **\([0,2; 0,4)\)**. - Для второго — вероятность очень низкая. Если есть вопросы или нужно уточнить — скажите!