А 11.54. Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались неза висимо друг от друга в три разные норы. В каком из ин-тервалов лежит вероятность указанного события? Событие [0; 0,3)…
А 11.54. Спасаясь от охотников, 10 кроликов разбежались неза висимо друг от друга в три разные норы. В каком из ин-тервалов лежит вероятность указанного события? Событие [0; 0,3) Вероятность Нет пустых нор [0,2; 0,4) [0,4; 0,6) [0,6;0,8) В первой норе три кролика Ровно одна нора пуста В одной норе четыре кроли-ка, в остальных поровну В одной норе два кролика, в остальных поровну
Давайте по порядку разберем каждое событие и определим вероятность его наступления. У нас есть 10 кроликов, разбросанных по 3 различным норам, причем разброс происходит независимо друг от друга, и нам нужно определить, в каком интервале лежит вероятность каждого события.
1. Нет пустых нор
Это событие означает, что каждая из трех нор содержит хотя бы одного кролика. Общее число способов расположить 10 кроликов по 3 норам, где нора может быть пуста или нет, равно \( 3^{10} \).
Теперь найдем число случаев, при которых ни одна нора не пуста.
- Общее число способов разместить кроликов так, чтобы все норы были заняты (то есть, каждая нора содержит хотя бы одного кролика):
Используем принцип включения-исключения:
Общее число расположений: \( 3^{10} \)
Минус расположения, где одна или две норы пусты:
Если одна нора пуста: для двух нор осталось 10 кроликов (по просто), распределение: \( 2^{10} = 1024 \) способа.
Так как три норы могут быть выбраны для пустоты: \( C_3^1 = 3 \), всего: \( 3 \times 2^{10} \)
Если две норы пусты: тогда все кролики в одной норе, лишь 3 варианта (в какую): \( C_3^2 = 3 \)
Тогда, по принципу включения-исключения, число способов, когда все норы заняты:
\[ N = 3^{10} - 3 \times 2^{10} + 3 \]
Вероятность события:
\[ P = \frac{N}{3^{10}} = \frac{3^{10} - 3 \times 2^{10} + 3}{3^{10}} \]
чтобы найти числовое значение, подставим:
\[ 3^{10} = 59049 \] \[ 2^{10} = 1024 \]
тогда:
\[ P = \frac{59049 - 3 \times 1024 + 3}{59049} = \frac{59049 - 3072 + 3}{59049} = \frac{55980}{59049} \approx 0,949 \]
Это чуть больше 0.9, то есть вероятность больше 0,8 — это подходит под интервал \([0,6;0,8)\) или выше. Но по условию, интервалы даны такие:
- \([0; 0,3)\) — слишком мало;
- \([0,2; 0,4)\) — чуть выше 0,2-0,4;
- \([0,4; 0,6)\) — еще ниже 0,6;
- \([0,6; 0,8)\) — идет вероятность примерно 0,95 — значит подходит.
Ответ: \([0,6; 0,8)\)
2. Ровно одна нора пуста
Это событие значит, что одна нора пустая, а две заняты.
Общее число способов, выбираем нору для пустоты: 3 варианта.
Для двух занятых нор: разместить всех 10 кроликов так, чтобы каждая нора содержала хотя бы одного кролика.
Отдельное рассмотрение:
Выбираем, какая нора пустая: 3 варианта.
Затем, делим оставшихся 10 кроликов между двумя норами так, чтобы обе нора не были пустыми.
- Распределение двух нор: каждая содержит хотя бы одного кролика.
Общее число вариантов для этого — разделить 10 кроликов между двумя норами с условием, что обе норы содержат хотя бы 1 кролика:
Это число — число решений уравнения:
\[ x + y = 10, \quad x \ge 1, y \ge 1 \]
Количество таких решений: \( (10 - 1) = 9 \).
Каждое решение соответствует способу, когда одна нора содержит \(x\) кроликов, а другая — \(y=10 - x\).
Поскольку можно выбрать для какой норы пустой, а другие две заполнять, общее число вариантов:
\[ 3 \times 9 = 27 \]
Общее число всех возможных распределений кроликов по 3 норам — \(3^{10} = 59049\).
Вероятность:
\[ P = \frac{27}{59049} \approx 0,000456 \]
Это очень малая вероятность, явно не входит в интервал \([0; 0,3)\), и, по логике, лежит в области около 0,0004.
3. В одной норе четыре кролика, в остальных поровну
Обозначим, какая нора содержит 4 кролика — выберем её: 3 варианта.
Допустим, эта нора — первая. Тогда остальные 6 кроликов нужно разбить на две норы по 3 кролика.
Рассмотрим вариант:
В первой норе: 4 кролика.
Во второй норе: 3 кролика.
В третьей норе: 3 кролика.
Число способов выбрать 4 кролика для первой норы из 10:
\[ C_{10}^4 = 210 \]
Затем разместить 6 оставшихся кроликов по двум норам по 3 кролика: число вариантов:
\[ C_6^3 = 20 \]
(выбираем 3 кролика для второй норы, остальные 3 идут в третью).
Общее число:
\[ 3 \text{ (выбор норы)} \times 210 \times 20 = 3 \times 210 \times 20 = 12600 \]
Вероятность:
\[ P = \frac{12600}{59049} \approx 0,213 \]
Это находится в диапазоне \([0,2; 0,4)\).
4. В одной норе два кролика, в остальных поровну
Здесь вариант: одна нора содержит 2 кролика, две норы — по 4 кролика (так как суммарно 10 кроликов).
Находим число случаев:
Выбрать нору, которая содержит 2 кролика: 3 варианта.
В неё выбрать 2 кролика из 10: \( C_{10}^2=45 \).
Оставшиеся 8 кроликов делим между двумя норами поровну по 4.
Это количество способов выбрать 4 кролика для норы №2 из оставшихся 8:
\[ C_8^4=70 \]
Остальные 4 кролика — идут в третью нору.
Общее число способов:
\[ 3 \times 45 \times 70 = 3 \times 45 \times 70= 9450 \]
Вероятность:
\[ P = \frac{9450}{59049} \approx 0,16 \]
Это входит в интервал \([0,2; 0,4)\).
Итоговые ответы:
Нет пустых нор — вероятность около 0,95 — лежит в интервале \([0,6; 0,8)\).
Ровно одна нора пуста — очень малая вероятность, около 0,0004 — вне указанных интервалов.
В одной норе четыре кролика, в остальных поровну — вероятность около 0,213 — \([0,2;0,4)\).
В одной норе два кролика, в остальных поровну — вероятность около 0,16 — \([0,2;0,4)\).
Если нужно выбрать один наиболее подходящий интервал для всех или для каждой ситуации, то:
- Для первого события — \([0,6; 0,8)\).
- Для третьего и четвертого — \([0,2; 0,4)\).
- Для второго — вероятность очень низкая.
Если есть вопросы или нужно уточнить — скажите!
