На сколько градусов нагреется медный проводник с площадью сечения 3 3 мм 2 2 , если сила тока, проходящего через него в течение 2 2 минут, равна 3 3 А?
Для решения этой задачи нам нужно определить, на сколько градусов нагреется медный проводник при протекании по нему указанного тока за определённое время. Основное правило, которое поможет — закон Джоуля-Ленца, по которому выделяется тепло в проводнике при течении тока. Формула выглядит так:
\[ Q = I^2 R t \]
где:
- \( Q \) — количество выделенного тепла (Джоуль),
- \( I \) — ток (А),
- \( R \) — сопротивление проводника (Ом),
- \( t \) — время (сек).
Задача требует найти изменение температуры (\( \Delta T \)), связанное с выделенной тепловой энергией \(Q\).
Шаг 1. Переводим данные в удобные единицы
- Площадь сечения: \( S = 3\, \text{мм}^2 \)
- В м²: \( S = 3 \times 10^{-6}\, \text{м}^2 \)
- Время: \( 2\, \text{минуты} = 120\, \text秒 \)
- Ток: \( I = 3\, \text{А} \)
Шаг 2. Вычисляем сопротивление проводника
Сопротивление проводника определяется формулой:
\[ R = \rho \frac{l}{S} \]
где:
- \( \rho \) — сопротивление меди (при 20°C примерно \( 1,68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdет) \),
- \( l \) — длина проводника (в условии не указана, предположим, что она равна \( l \) — нам нужно выразить результат в общем виде).
Поскольку длина \( l \) не задана, предполагаем, что у вас есть либо она равна, либо нужно выразить зависимость.
Шаг 3. Вычисляем количество выделенного тепла \(Q\)
Используем закон Джоуля-Ленца:
\[ Q = I^2 R t \]
Подставляем \( R \):
\[ Q = I^2 \left( \rho \frac{l}{S} \right) t \]
\[ Q = I^2 \rho \frac{l}{S} t \]
Подставим числа:
\[ Q = (3)^2 \times 1,68 \times 10^{-8} \times \frac{l}{3 \times 10^{-6}} \times 120 \]
Шаг 4. Упростим выражение
\[ Q = 9 \times 1,68 \times 10^{-8} \times \frac{l}{3 \times 10^{-6}} \times 120 \]
Обращаем внимание, что \( \frac{l}{3 \times 10^{-6}} \) остается в виде \( \frac{l}{3 \times 10^{-6}} \).
Храним это как есть для общего выражения.
Шаг 5. Определяем изменение температуры \( \Delta T \)
Для этого используем теплоёмкость меди:
\[ Q = mc \Delta T \]
где:
- \( m = \rho_{\text{медь}} V \),
- \( c \approx 385\, \text{Дж/(кг·°C)} \),
Объем \( V = S \times l \):
\[ m = \rho_{\text{медь}} S l \]
Плотность меди \( \rho_{\text{медь}} \approx 8,96 \times 10^{3}\, \text{кг/м}^3 \).
Значит:
\[ Q = \rho_{\text{медь}} S l c \Delta T \]
отсюда:
\[ \Delta T = \frac{Q}{\rho_{\text{медь}} S l c} \]
Подставляем \(Q\):
\[ \Delta T = \frac{I^2 \rho \frac{l}{S} t}{\rho_{\text{медь}} S l c} \]
После сокращений:
\[ \Delta T = \frac{I^2 \rho t}{\rho_{\text{медь}} S^2 c} \]
Шаг 6. Итоговое выражение для изменения температуры
Подставим все числа:
\[ \Delta T = \frac{(3)^2 \times 1,68 \times 10^{-8} \times 120}{8,96 \times 10^{3} \times (3 \times 10^{-6})^2 \times 385} \]
Посчитаем числитель:
\[ 9 \times 1,68 \times 10^{-8} \times 120 = 9 \times 1,68 \times 120 \times 10^{-8} \] \[ = 9 \times 201,6 \times 10^{-8} = 1814,4 \times 10^{-8} \]
Теперь знаменатель:
\[ 8,96 \times 10^{3} \times (3 \times 10^{-6})^2 \times 385 \]
Вычислим \( (3 \times 10^{-6})^2 = 9 \times 10^{-12} \):
\[ 8,96 \times 10^{3} \times 9 \times 10^{-12} \times 385 \]
Перемножим:
\[ 8,96 \times 9 = 80,64 \]
значит:
\[ 80,64 \times 10^{3} \times 10^{-12} \times 385 = 80,64 \times 385 \times 10^{3 - 12} = 80,64 \times 385 \times 10^{-9} \]
Вычислим \( 80,64 \times 385 \):
\[ 80,64 \times 385 \approx 31077 \]
Итак, знаменатель:
\[ 31077 \times 10^{-9} = 3,1077 \times 10^{-5} \]
Шаг 7. Итоговое значение
Теперь найдём \( \Delta T \):
\[ \Delta T = \frac{1814,4 \times 10^{-8}}{3,1077 \times 10^{-5}} = \frac{1814,4 \times 10^{-8}}{3,1077 \times 10^{-5}} \]
Разделим числители и знаменатели:
\[ \frac{1814,4}{3,1077} \times 10^{-8 + 5} = \frac{1814,4}{3,1077} \times 10^{-3} \]
Приблизительно:
\[ \frac{1814,4}{3,1077} \approx 584 \]
Следовательно,
\[ \Delta T \approx 584 \times 10^{-3} = 0,584^{\circ} \text{C} \]
Ответ:
Медный проводник нагреется примерно на 0,58 градусов Цельсия.
Если есть длина проводника или дополнительные условия, результат можно уточнить.
