Давайте разберем выражение (\frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)}) по шагам и постараемся упростить его.
Шаг 1: Используем известные тригонометрические тождества
Напомню основные тождества:
- (\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1)
- (1 - \cos^2(a) = \sin^2(a))
Также, стоит обратить внимание на числитель (1 - \cos(a)), который можно связать с другим выражением через разложение.
Шаг 2: Преобразуем числитель
Числитель (1 - \cos(a)) можно представить через формулу для разности квадратов, если "домножить" и "разделить" на (1 + \cos(a)):
[
1 - \cos(a) = \frac{(1 - \cos(a))(1 + \cos(a))}{1 + \cos(a)} = \frac{1 - \cos^2(a)}{1 + \cos(a)}
]
По формуле Пифагора:
[
1 - \cos^2(a) = \sin^2(a)
]
Тогда:
[
1 - \cos(a) = \frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)}
]
Шаг 3: Подставляем в исходное выражение
Подставим полученное выражение в исходный:
[
\frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)} = \frac{\frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)}}{\sin^2(a)}
]
Теперь делим числитель на знаменатель:
[
= \frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)} \times \frac{1}{\sin^2(a)}
]
[
= \frac{\cancel{\sin^2(a)}}{1 + \cos(a)} \times \frac{1}{\cancel{\sin^2(a)}}
]
Остается:
[
= \frac{1}{1 + \cos(a)}
]
Итоговая ответ:
[
\boxed{\frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)} = \frac{1}{1 + \cos(a)}}
]
Это — полное и упрощенное выражение.
