1-cos(a) / sin²(a)
Давайте разберем выражение \(\frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)}\) по шагам и постараемся упростить его.
Шаг 1: Используем известные тригонометрические тождества
Напомню основные тождества:
- \(\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1\)
- \(1 - \cos^2(a) = \sin^2(a)\)
Также, стоит обратить внимание на числитель \(1 - \cos(a)\), который можно связать с другим выражением через разложение.
Шаг 2: Преобразуем числитель
Числитель \(1 - \cos(a)\) можно представить через формулу для разности квадратов, если "домножить" и "разделить" на \(1 + \cos(a)\):
\[ 1 - \cos(a) = \frac{(1 - \cos(a))(1 + \cos(a))}{1 + \cos(a)} = \frac{1 - \cos^2(a)}{1 + \cos(a)} \]
По формуле Пифагора:
\[ 1 - \cos^2(a) = \sin^2(a) \]
Тогда:
\[ 1 - \cos(a) = \frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)} \]
Шаг 3: Подставляем в исходное выражение
Подставим полученное выражение в исходный:
\[ \frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)} = \frac{\frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)}}{\sin^2(a)} \]
Теперь делим числитель на знаменатель:
\[ = \frac{\sin^2(a)}{1 + \cos(a)} \times \frac{1}{\sin^2(a)} \]
\[ = \frac{\cancel{\sin^2(a)}}{1 + \cos(a)} \times \frac{1}{\cancel{\sin^2(a)}} \]
Остается:
\[ = \frac{1}{1 + \cos(a)} \]
Итоговая ответ:
\[ \boxed{\frac{1 - \cos(a)}{\sin^2(a)} = \frac{1}{1 + \cos(a)}} \]
Это — полное и упрощенное выражение.
