Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.
Давайте разберем задачу пошагово и подробно объясним все необходимые вычисления.
Дано:
- Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: \( a = 4\, \text{см} \)
- Апофема пирамиды образует с плоскостью основания угол \( \alpha = 60^\circ \)
Найти:
- Высоту пирамиды \( h \)
- Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
Шаг 1. Построение и определение всех элементов
- Основание — правильный квадрат со стороной \( a = 4\, \text{см} \).
- Апофема — это высота боковой грани (пирамида образует конусообразную боковую поверхность). В случае правильной пирамиды апофема — это высота треугольника боковой грани, соединяющая вершину пирамиды с центром основания.
Обозначим:
- \( S \) — центр основания.
- \( V \) — вершина пирамиды.
- \( A, B, C, D \) — вершины квадрата основания.
Шаг 2. Определение апофемы
- Апофема \( l \) — это наклонная высота боковой грани, образующая угол \( 60^\circ \) с плоскостью основания.
Поскольку апофема — это сонаправленная высота треугольника боковой поверхности, то:
\[ \text{угол } \alpha = 60^\circ \text{ — это угол между апофемой } l \text{ и плоскостью основания} \]
Из этого следует, что апофема \( l \) — наклонная высота, образующая с плоскостью основания угол \( 60^\circ \).
Шаг 3. Вычисление высоты пирамиды \( h \)
В треугольнике, где апофема \( l \), высота пирамиды \( h \), а радиус описанной окружности квадрата \( R \), есть связь:
\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \text{ см} \]
Это радиус окружности, описанной около основания.
В треугольнике, где:
- \( l \) — апофема,
- \( h \) — высота пирамиды,
- \( R \) — расстояние от центра основания до основания вершины \( V \).
Из условия, апофема образует с плоскостью основания угол \( 60^\circ \), и его вертикальная часть связана с высотой \( h \):
\[ h = l \times \cos 60^\circ \]
Также, апофема \( l \) — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где:
- вертикальный катет — высота \( h \),
- горизонтальный катет — расстояние от центра основания до точки основания вершины.
Из треугольника, фигуры имеем:
\[ l = \frac{h}{\cos 60^\circ} \]
Поскольку \( \cos 60^\circ = 0.5 \), то:
\[ l = 2h \]
Также из условия:
\[ l \text{ образует угол } 60^\circ \text{ с плоскостью основания} \]
и
\[ h = l \times \cos 60^\circ = l \times 0.5 \]
Подставляя \( l = 2h \):
\[ h = (2h) \times 0.5 = h \]
Это подтверждает, что \( h \) — высота пирамиды.
Шаг 4. Связь между апофемой \( l \), высотой \( h \), и радиусом основания
- Актуальное выражение: апофема \( l \) — гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет — высота \( h \), а другой — радиус \( R \).
Используем теорему Пифагора:
\[ l^2 = h^2 + R^2 \]
где \( R = 2\sqrt{2} \).
Подставляем \( l = 2h \):
\[ (2h)^2 = h^2 + (2\sqrt{2})^2 \] \[ 4h^2 = h^2 + 8 \] \[ 4h^2 - h^2 = 8 \] \[ 3h^2 = 8 \] \[ h^2 = \frac{8}{3} \] \[ h = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \text{ см} \]
Ответ 1:
Высота пирамиды: \(\boxed{\frac{2 \sqrt{6}}{3}\ \text{см}}\)
Шаг 5. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
Боковая поверхность состоит из 4 треугольников, у каждого основание — сторона квадрата \( a = 4\, \text{см} \). Высота каждого треугольника — апофема \( l = 2h = 2 \times \frac{2 \sqrt{6}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \).
Площадь одного бокового треугольника:
\[ S_{треуг} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{4 \sqrt{6}}{3} \] \[ = 2 \times \frac{4 \sqrt{6}}{3} = \frac{8 \sqrt{6}}{3} \]
Общая площадь боковой поверхности (в 4 раза больше):
\[ S_{бок} = 4 \times \frac{8 \sqrt{6}}{3} = \frac{32 \sqrt{6}}{3} \ \text{см}^2 \]
Ответ 2:
Площадь боковой поверхности: \(\boxed{\frac{32 \sqrt{6}}{3}\ \text{см}^2}\)
Итог:
- Высота пирамиды: \(\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}\ \text{см}\)
- Площадь боковой поверхности: \(\displaystyle \frac{32 \sqrt{6}}{3}\ \text{см}^2\)
Если нужно более подробно разобрать какой-то из шагов или есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
