10. В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 0,15 0,22 0,14 0,08 0,32 0,09

Давайте решим задачу пошагово. Задача: дана таблица распределения вероятностей случайной величины \(X\). Не указано значение самой случайной величины, но предположим, что у каждого значения \(X_i\) есть соответствующая вероятность \(P_i\). Вероятности: - 0,15 - 0,22 - 0,14 - 0,08 - 0,32 - 0,09 --- ### Шаг 1. Определить значения \(X_i\) В условии не указано непосредственно самих значений \(X_i\). Обычно, для таких задач предполагается, что даны либо сами значения, либо они перечислены в порядке с вероятностями. Поскольку прямо не указано, предположим, что значения \(X_i\) — это некоторый набор чисел, соответствующий данным вероятностям. Рассмотрим, что значения \(X_i\) — это последовательность числа (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Тогда: | Значение \(X_i\) | Вероятность \(P_i\) | |------------------|---------------------| | 1 | 0,15 | | 2 | 0,22 | | 3 | 0,14 | | 4 | 0,08 | | 5 | 0,32 | | 6 | 0,09 | Это — стандартный подход при отсутствии конкретных значений. --- ### Шаг 2. Проверить сумму вероятностей \[ 0,15 + 0,22 + 0,14 + 0,08 + 0,32 + 0,09 = 1 \] Вероятности суммируются в 1 — условие корректности распределения. --- ### Шаг 3. Найти математическое ожидание \(E(X)\) Формула для математического ожидания: \[ E(X) = \sum_{i} X_i \cdot P_i \] Подставим значения: \[ E(X) = 1 \times 0,15 + 2 \times 0,22 + 3 \times 0,14 + 4 \times 0,08 + 5 \times 0,32 + 6 \times 0,09 \] Вычислим поэтапно: - \(1 \times 0,15 = 0,15\) - \(2 \times 0,22 = 0,44\) - \(3 \times 0,14 = 0,42\) - \(4 \times 0,08 = 0,32\) - \(5 \times 0,32 = 1,60\) - \(6 \times 0,09 = 0,54\) Теперь сложим: \[ E(X) = 0,15 + 0,44 + 0,42 + 0,32 + 1,60 + 0,54 = 3,47 \] --- ### Шаг 4. Найти дисперсию \(D(X)\) Формула дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] Сначала найдём \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum_{i} X_i^2 \cdot P_i \] Вычисляем: - \(1^2 \times 0,15 = 1 \times 0,15 = 0,15\) - \(2^2 \times 0,22 = 4 \times 0,22 = 0,88\) - \(3^2 \times 0,14 = 9 \times 0,14 = 1,26\) - \(4^2 \times 0,08 = 16 \times 0,08 = 1,28\) - \(5^2 \times 0,32 = 25 \times 0,32 = 8,00\) - \(6^2 \times 0,09 = 36 \times 0,09 = 3,24\) Суммируем: \[ E(X^2) = 0,15 + 0,88 + 1,26 + 1,28 + 8,00 + 3,24 = 14,75 \] Теперь найдём дисперсию: \[ D(X) = 14,75 - (3,47)^2 \] \[ (3,47)^2 \approx 12,04 \] Следовательно, \[ D(X) \approx 14,75 - 12,04 = 2,71 \] --- ### **Итог:** \[ \boxed{ \begin{aligned} \text{Математическое ожидание } E(X) &= 3,47 \\ \text{Дисперсия } D(X) &\approx 2,71 \end{aligned} } \] Если нужно, могу помочь уточнить или объяснить детали!