10. В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 0,15 0,22 0,14 0,08 0,32 0,09
Давайте решим задачу пошагово.
Задача: дана таблица распределения вероятностей случайной величины \(X\). Не указано значение самой случайной величины, но предположим, что у каждого значения \(X_i\) есть соответствующая вероятность \(P_i\).
Вероятности:
- 0,15
- 0,22
- 0,14
- 0,08
- 0,32
- 0,09
Шаг 1. Определить значения \(X_i\)
В условии не указано непосредственно самих значений \(X_i\). Обычно, для таких задач предполагается, что даны либо сами значения, либо они перечислены в порядке с вероятностями.
Поскольку прямо не указано, предположим, что значения \(X_i\) — это некоторый набор чисел, соответствующий данным вероятностям.
Рассмотрим, что значения \(X_i\) — это последовательность числа (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6). Тогда:
| Значение \(X_i\) | Вероятность \(P_i\) |
|---|---|
| 1 | 0,15 |
| 2 | 0,22 |
| 3 | 0,14 |
| 4 | 0,08 |
| 5 | 0,32 |
| 6 | 0,09 |
Это — стандартный подход при отсутствии конкретных значений.
Шаг 2. Проверить сумму вероятностей
\[ 0,15 + 0,22 + 0,14 + 0,08 + 0,32 + 0,09 = 1 \]
Вероятности суммируются в 1 — условие корректности распределения.
Шаг 3. Найти математическое ожидание \(E(X)\)
Формула для математического ожидания:
\[ E(X) = \sum_{i} X_i \cdot P_i \]
Подставим значения:
\[ E(X) = 1 \times 0,15 + 2 \times 0,22 + 3 \times 0,14 + 4 \times 0,08 + 5 \times 0,32 + 6 \times 0,09 \]
Вычислим поэтапно:
- \(1 \times 0,15 = 0,15\)
- \(2 \times 0,22 = 0,44\)
- \(3 \times 0,14 = 0,42\)
- \(4 \times 0,08 = 0,32\)
- \(5 \times 0,32 = 1,60\)
- \(6 \times 0,09 = 0,54\)
Теперь сложим:
\[ E(X) = 0,15 + 0,44 + 0,42 + 0,32 + 1,60 + 0,54 = 3,47 \]
Шаг 4. Найти дисперсию \(D(X)\)
Формула дисперсии:
\[ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
Сначала найдём \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum_{i} X_i^2 \cdot P_i \]
Вычисляем:
- \(1^2 \times 0,15 = 1 \times 0,15 = 0,15\)
- \(2^2 \times 0,22 = 4 \times 0,22 = 0,88\)
- \(3^2 \times 0,14 = 9 \times 0,14 = 1,26\)
- \(4^2 \times 0,08 = 16 \times 0,08 = 1,28\)
- \(5^2 \times 0,32 = 25 \times 0,32 = 8,00\)
- \(6^2 \times 0,09 = 36 \times 0,09 = 3,24\)
Суммируем:
\[ E(X^2) = 0,15 + 0,88 + 1,26 + 1,28 + 8,00 + 3,24 = 14,75 \]
Теперь найдём дисперсию:
\[ D(X) = 14,75 - (3,47)^2 \]
\[ (3,47)^2 \approx 12,04 \]
Следовательно,
\[ D(X) \approx 14,75 - 12,04 = 2,71 \]
Итог:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{Математическое ожидание } E(X) &= 3,47 \\ \text{Дисперсия } D(X) &\approx 2,71 \end{aligned} } \]
Если нужно, могу помочь уточнить или объяснить детали!
