На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечания точки А, В и С. Найдите градусную меру угла АВС
Давайте разберёмся, как найти градусную меру угла \( \angle ABC \) на основе изображения, которое находится на клетчатой бумаге.
Шаг 1: Определим координаты точек
На клетчатой бумаге каждое пересечение линий — это точка с целочисленными координатами.
- Точка \(A\) — находится в точке \((1, 4)\).
- Точка \(B\) — находится в точке \((4, 2)\).
- Точка \(C\) — находится в точке \((1, 2)\).
Шаг 2: Построение векторов
Чтобы найти угол \( \angle ABC \), нужно рассмотреть векторы, исходящие из точки \(B\):
Вектор \( \vec{BA} \): от \(B\) к \(A\)
\[ \vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (1 - 4, 4 - 2) = (-3, 2) \]Вектор \( \vec{BC} \): от \(B\) к \(C\)
\[ \vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (1 - 4, 2 - 2) = (-3, 0) \]
Шаг 3: Рассчитаем скалярное произведение
Для определения угла между векторами используем формулу:
\[ \cos \angle ABC = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \times |\vec{BC}|} \]
где
\[
\vec{BA} \cdot \vec{BC} = ( -3) \times ( -3) + 2 \times 0 = 9 + 0 = 9
\]
длина вектора:
\[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]
\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0} = 3 \]
Шаг 4: Найдём косинус угла
\[ \cos \angle ABC = \frac{9}{\sqrt{13} \times 3} = \frac{9}{3 \sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \]
Шаг 5: Вычислим градусную меру угла
\[ \angle ABC = \arccos \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \]
Для нахождения этого значения воспользуемся калькулятором:
\[ \sqrt{13} \approx 3.6055 \]
\[ \frac{3}{3.6055} \approx 0.83205 \]
\[ \angle ABC \approx \arccos (0.83205) \approx 33.5^\circ \]
Итог:
Градусная мера угла \( \angle ABC \) примерно равна 33,5 градусов.
Если есть дополнительные вопросы или нужны разъяснения, — скажите!
