.

Задача: Один насос наполняет цистерну за 12 часов, а другой — за 36 часов. За скольку часов наполнят цистерну вместе?

Решение:

1. Определим, какая часть цистерны заполняется каждым насосом за один час.

• Первый насос за 12 часов заполняет всю цистерну, значит за 1 час он заполняет \(\frac{1}{12}\) части цистерны.
• Второй насос за 36 часов заполняет всю цистерну, значит за 1 час он заполняет \(\frac{1}{36}\) части цистерны.

2. Найдём, сколько часть цистерны наполняется за один час, работая оба насоса одновременно: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{36} \] Чтобы сложить эти дроби, найдём их общий знаменатель. Общий знаменатель для 12 и 36 — это 36.

Значит: \[ \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] Т.е. оба насоса, работая вместе, за один час заполняют \(\frac{1}{9}\) части цистерны.

3. Теперь найдём, за сколько часов цистерна полностью наполняется: \[ t = \frac{1}{\left(\frac{1}{9}\right)} = 9 \text{ часов} \]

Ответ: цистерна наполнится за 9 часов.