Давайте подробно решим эту задачу.
Задача:
Мячик падает с высоты 1 м и при каждом следующем падении подскакивает на высоту, которая вдвое меньше предыдущей. Нужно найти общее пройденное расстояние, когда мячик остановится (теоретически — при бесконечном числе падений и подскоков).
Шаг 1: Анализ ситуации
- Начальная высота падения: (h_0 = 1) метр.
- При каждом падении мячик падает вниз, пройдя определённое расстояние.
- После удара о поверхность, мячик поднимается вверх на половину предыдущей высоты, затем падает снова, и так далее, с высотами: 1 м, 0.5 м, 0.25 м, 0.125 м... и т.д.
Шаг 2: Расчет пройденного расстояния
Первое падение:
- мяч падает со высоты 1 м до пола: расстояние = 1 м.
Подскакивает на половину высоты:
- Поднимается вверх на 0.5 м.
- Затем падает обратно вниз на пол: ещё 0.5 м.
Следующие подскоки: каждое последующее подскакивает на половину предыдущего, то есть высоты: 0.25 м, 0.125 м, 0.0625 м и т.д.
Шаг 3: Формулы для суммы
- Первая часть (падение): 1 м.
- Далее каждое полное колебание — подъем и падение на одинаковую высоту:
[
\text{подъем} + \text{спуск} = 2 \times (\text{высота подскока})
]
- Высоты подскока: ( h_1 = 0.5 ), ( h_2 = 0.25 ), ( h_3 = 0.125 ), и так далее.
Общий путь:
[
\text{Общий путь} = 1 + 2(0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots)
]
Шаг 4: Вспомогательный ряд
Ряд подскоков:
[
0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots
]
Это геометрическая прогрессия, где:
- первый член (a_1 = 0.5),
- знаменатель (q = 0.5).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
[
S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{0.5}{1 - 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1
]
Шаг 5: Итоговое решение
Подставляем в формулу для общего расстояния:
[
\boxed{
\text{Общее расстояние} = 1 + 2 \times S = 1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 \text{ метра}
}
]
Ответ:
Общее расстояние, которое пройдёт мячик, — 3 метра.
