3. Маленький упругий мячик упал на горизонтальную твёрдую поверхность с высоты 1 м. При каждом падении он подпрыгивает на высоту, которая вдвое меньше предыдущей. Найдите общее…

Давайте подробно решим эту задачу.

Задача:
Мячик падает с высоты 1 м и при каждом следующем падении подскакивает на высоту, которая вдвое меньше предыдущей. Нужно найти общее пройденное расстояние, когда мячик остановится (теоретически — при бесконечном числе падений и подскоков).

Шаг 1: Анализ ситуации

• Начальная высота падения: \(h_0 = 1\) метр.
• При каждом падении мячик падает вниз, пройдя определённое расстояние.
• После удара о поверхность, мячик поднимается вверх на половину предыдущей высоты, затем падает снова, и так далее, с высотами: 1 м, 0.5 м, 0.25 м, 0.125 м... и т.д.

Шаг 2: Расчет пройденного расстояния

1. Первое падение:

   • мяч падает со высоты 1 м до пола: расстояние = 1 м.

2. Подскакивает на половину высоты:

   • Поднимается вверх на 0.5 м.
   • Затем падает обратно вниз на пол: ещё 0.5 м.

3. Следующие подскоки: каждое последующее подскакивает на половину предыдущего, то есть высоты: 0.25 м, 0.125 м, 0.0625 м и т.д.

Шаг 3: Формулы для суммы

• Первая часть (падение): 1 м.
• Далее каждое полное колебание — подъем и падение на одинаковую высоту:

\[ \text{подъем} + \text{спуск} = 2 \times (\text{высота подскока}) \]

• Высоты подскока: \( h_1 = 0.5 \), \( h_2 = 0.25 \), \( h_3 = 0.125 \), и так далее.

Общий путь:

\[ \text{Общий путь} = 1 + 2(0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots) \]

Шаг 4: Вспомогательный ряд

Ряд подскоков:

\[ 0.5 + 0.25 + 0.125 + \dots \]

Это геометрическая прогрессия, где:

• первый член \(a_1 = 0.5\),
• знаменатель \(q = 0.5\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{0.5}{1 - 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]

Шаг 5: Итоговое решение

Подставляем в формулу для общего расстояния:

\[ \boxed{ \text{Общее расстояние} = 1 + 2 \times S = 1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 \text{ метра} } \]

Ответ:

Общее расстояние, которое пройдёт мячик, — 3 метра.