Постройте график функции y= [x(x+4), если x20 -x(x+4)если x<0 и определите, при каких значениях а прямая у = а имеет с графиком ровно три общие точки. Постройте график функции

Давайте разберемся с задачей пошагово.

В условиях задачи есть функция:

\[ y = \begin{cases} x(x+4), & \text{если } x \geq 0, \\ - x(x+4), & \text{если } x < 0, \end{cases} \]

и нужно построить график этой функции, а также определить при каких значениях \(a\) прямая \(y = a\) будет иметь ровно три общие точки с графиком функции.

---

Шаг 1. Анализ функции

Для \(x \geq 0\): \[ y = x(x+4) = x^2 + 4x, \] это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \(x = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2} = -2\). Но поскольку \(x \geq 0\), вершина находится за пределами области определения, поэтому рассматриваем график начиная с \(x=0\).

Для \(x < 0\): \[ y = - x(x+4) = - (x^2 + 4x) = -x^2 - 4x, \] это тоже парабола, но открытая вниз, вершина в точке \(x = - \frac{b}{2a} = - \frac{-4}{2 (-1)} = - \frac{-4}{-2} = -2\). Вершина этой части – в точке \((-2, \text{значение})\).

---

Шаг 2. Построение графика

Площадка для построения:

• Для \(x \geq 0\):

  • точки: \(x=0, y=0\);
  • \(x=1, y=1 + 4 = 5\);
  • \(x=2, y=4 + 8= 12\);
  • \(x=3, y=9 + 12= 21\);
  • и т.д.

• Для \(x < 0\):

  • \(x=-1\), \(y=-1 - 4 = -5\),
  • \(x=-2\), \(y = -4 + 8 = 4\),
  • \(x=-3\), \(y = -9 + 12 = 3\),
  • т.д.

График функции будет состоять из двух ветвей:

• слева от оси \(y\) — парабола с вершиной около \(-2\),
• справа — парабола, начинаясь от \(0,0\) и уходящая вверх.

---

Шаг 3. Построение графика (готовый)

Чтобы было понятно, прикинем схему:

x:      -3  -2  -1   0   1   2   3
y:      3   4  -5   0   5  12   21
        (для x<0)  (для x≥0)

При построении необходимо изобразить эти точки и соединить их кривыми.

---

Шаг 4. Условие для прямой \(y=a\) с графиком в трех точках

Теперь ищем такие значения \(a\), что при пересечении графика функцией \(y=a\) будет ровно три точка.

Для этого нужно решить уравнения:

\[ a = x(x+4), \quad x \ge 0, \] \[ a = - x(x+4), \quad x < 0. \]

---

Шаг 5. Анализ уравнений

1. Для \(x \ge 0\):

\[ a = x^2 + 4x, \] или \[ x^2 + 4x - a = 0. \]

Дискриминант: \[ \Delta_1 = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 16 + 4a. \]

Решения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2}. \]

• Для существования решений дискриминант должен быть неотрицательным: \[ 16 + 4a \ge 0 \Rightarrow a \ge -4. \]

• Для \(x \ge 0\), выбираем решение, где \(x \ge 0\):

\[ x = -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2}. \]

Это будет неотрицательным, если: \[ -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 2 \Rightarrow \sqrt{16 + 4a} \ge 4 \Rightarrow 16 + 4a \ge 16 \Rightarrow a \ge 0. \]

Следовательно, для \(a \ge 0\) есть одна точка пересечения с этой веткой.

2. Для \(x < 0\): \[ a = - x(x+4) = - (x^2 + 4x) \Rightarrow x^2 + 4x + a= 0. \]

Дискриминант: \[ \Delta_2 = 16 - 4a. \]

Решения: \[ x= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}. \]

• Для существования решений: \[ 16 - 4a \ge 0 \Rightarrow a \le 4. \]

Чтобы найти количество решений с \(x < 0\), исследуем знак решений:

\[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}. \]

• Для \(x<0\), нужно, чтобы оба решения были меньше нуля, или хотя бы одно.

Рассмотрим оба варианта:

• \(\displaystyle x_1 = -2 - \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}\) — всегда меньше 0 (так как \(\sqrt{16 - 4a} \ge 0\)).

• \(\displaystyle x_2 = -2 + \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}\):

  — если \(\frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \le 2\), то \(x_2 \le 0\).
  — если \(\frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} > 2\), то \(x_2 > 0\).

Так как \(\frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \le 2 \Rightarrow \sqrt{16 - 4a} \le 4 \Rightarrow 16 - 4a \le 16 \Rightarrow a \ge 0\)

Следовательно, при \(0 \le a \le 4\):

• одна точка в ветке \(x<0\) при \(x_1\),
• и в зависимости от \(a\), возможно, две точки или одна.

---

Шаг 6. Варианты пересечений с \(y=a\)

Обобщая, чтобы линия \(y=a\) имела ровно 3 точки пересечения с графиком, необходимо:

• В одной части (например, для \(x<0\)) — 2 решения,
• В другой части (\(x \ge 0\)) — 1 решение.

или наоборот.

Рассмотрим:

• Когда для \(x<0\) есть два решения (то есть дискриминант \(16-4a > 0\), или \(a < 4\)),
• Для \(x \ge 0\) — ровно одно решение или его нет.

Анализ показывает, что при:

• \(a \in (0, 4)\), в обеих частях могут быть по одному или двум решениям.

Но чтобы получить ровно три точки пересечения, необходимо:

• чтобы в одной ветке (например, \(x<0\)) было ровно 2 корня,
• а в другой — ровно 1 корень.

Доказательство:

• В ветке \(x<0\):

  • при \(a<0\), решений 2 (оба корня отрицательны).
  • при \(a=0\), решение: \(x=-2\), \(x=-2\) — супер, ровно 1 решение.
  • при \(a>0\), только \(x=-2 - \frac{\sqrt{16-4a}}{2}\) — одно решение.

• В ветке \(x \ge 0\):

  • при \(a>0\), есть решение \(x=-2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2}\);
  • при \(a=0\), решение \(x=0\);
  • при \(a<0\), нет решений.

Итог:

• Чтобы было ровно 3 пересечения, выбираем такие \(a\), чтобы в одной части было 2 решения, а в другой — 1.

Самый подходящий вариант:

• в ветке \(x<0\) — 2 решения (при \(a<4\)),
• в ветке \(x \ge 0\) — 1 решение (при \(a\ge 0\)).

Значит, все \(a \in (0, 4)\) удовлетворяют условию.

---

Итог:

• График функции построен как две параболы, одна вниз — для \(x<0\), и одна вверх — для \(x\ge 0\).
• Значения \(a\), при которых прямая \(y=a\) пересекает график ровно в 3 точках: \(a \in (0, 4)\).

---

Если нужно, я могу помочь вам изобразить график или сделать выводы более структурированными.