Даны два числовых набора: 1. 5 5 , 7 7 , 4 4 , 8 8 ; 2. 9 9 , 4 4 , 21 21 , 12 12 . Вычисли дисперсии этих наборов и определи, дисперсия какого набора больше.

Давайте пошагово решим задачу по вычислению дисперсии двух наборов чисел и сравним их значения.

Шаг 1. Запишем оба набора:

• Набор 1: 5, 7, 4, 8
• Набор 2: 9, 4, 21, 12

Шаг 2. Найдём среднее значение каждого набора (mean):

Для набора 1: \[ \bar{x}_1 = \frac{5 + 7 + 4 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6 \]

Для набора 2: \[ \bar{x}_2 = \frac{9 + 4 + 21 + 12}{4} = \frac{46}{4} = 11.5 \]

Шаг 3. Вычислим сумму квадратов отклонений каждого элемента от среднего (для дисперсии):

Формула дисперсии (выборочная) для данных: \[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \] или для генеральной совокупности — делим на \( n \). В данной задаче предполагаем, что это выборочные данные, поэтому лучше взять деление на \( n-1=3 \), однако в условии не указано, что это выборка. Обычно, для аналитической задачи, используют деление на \( n \).

Поскольку в вопросе не уточнено, считаем дисперсию как совокупность: \[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \] (чтобы было проще — делим на \( n \)).

Шаг 4. Вычислим дисперсию для каждого набора.

Набор 1: 5, 7, 4, 8

• \( (5 - 6)^2 = 1 \)
• \( (7 - 6)^2 = 1 \)
• \( (4 - 6)^2 = 4 \)
• \( (8 - 6)^2 = 4 \)

Сумма квадратов: \[ 1 + 1 + 4 + 4 = 10 \]

Дисперсия: \[ D_1 = \frac{10}{4} = 2.5 \]

Набор 2: 9, 4, 21, 12

• \( (9 - 11.5)^2 = ( -2.5)^2 = 6.25 \)
• \( (4 - 11.5)^2 = ( -7.5)^2 = 56.25 \)
• \( (21 - 11.5)^2 = (9.5)^2 = 90.25 \)
• \( (12 - 11.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25 \)

Сумма квадратов: \[ 6.25 + 56.25 + 90.25 + 0.25 = 153 \]

Дисперсия: \[ D_2 = \frac{153}{4} = 38.25 \]

Шаг 5. Сравнимаем полученные дисперсии:

• Дисперсия набора 1: 2.5
• Дисперсия набора 2: 38.25

Ответ: дисперсия второго набора больше.

Если нужно было рассматривать дисперсию как вероятность (на выборке), деление бы было на \( n - 1 \). Тогда:

\[ D_{1,выборка} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \] \[ D_{2,выборка} = \frac{153}{3} = 51 \]

Это тоже показывает, что дисперсия второго набора больше.

Итог: Дисперсия второго набора чисел больше.