Давайте пошагово решим задачу по вычислению дисперсии двух наборов чисел и сравним их значения.
Шаг 1. Запишем оба набора:
- Набор 1: 5, 7, 4, 8
- Набор 2: 9, 4, 21, 12
Шаг 2. Найдём среднее значение каждого набора (mean):
Для набора 1:
[
\bar{x}_1 = \frac{5 + 7 + 4 + 8}{4} = \frac{24}{4} = 6
]
Для набора 2:
[
\bar{x}_2 = \frac{9 + 4 + 21 + 12}{4} = \frac{46}{4} = 11.5
]
Шаг 3. Вычислим сумму квадратов отклонений каждого элемента от среднего (для дисперсии):
Формула дисперсии (выборочная) для данных:
[
D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
]
или для генеральной совокупности — делим на ( n ). В данной задаче предполагаем, что это выборочные данные, поэтому лучше взять деление на ( n-1=3 ), однако в условии не указано, что это выборка. Обычно, для аналитической задачи, используют деление на ( n ).
Поскольку в вопросе не уточнено, считаем дисперсию как совокупность:
[
D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
]
(чтобы было проще — делим на ( n )).
Шаг 4. Вычислим дисперсию для каждого набора.
Набор 1: 5, 7, 4, 8
- ( (5 - 6)^2 = 1 )
- ( (7 - 6)^2 = 1 )
- ( (4 - 6)^2 = 4 )
- ( (8 - 6)^2 = 4 )
Сумма квадратов:
[
1 + 1 + 4 + 4 = 10
]
Дисперсия:
[
D_1 = \frac{10}{4} = 2.5
]
Набор 2: 9, 4, 21, 12
- ( (9 - 11.5)^2 = ( -2.5)^2 = 6.25 )
- ( (4 - 11.5)^2 = ( -7.5)^2 = 56.25 )
- ( (21 - 11.5)^2 = (9.5)^2 = 90.25 )
- ( (12 - 11.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25 )
Сумма квадратов:
[
6.25 + 56.25 + 90.25 + 0.25 = 153
]
Дисперсия:
[
D_2 = \frac{153}{4} = 38.25
]
Шаг 5. Сравнимаем полученные дисперсии:
- Дисперсия набора 1: 2.5
- Дисперсия набора 2: 38.25
Ответ: дисперсия второго набора больше.
Если нужно было рассматривать дисперсию как вероятность (на выборке), деление бы было на ( n - 1 ). Тогда:
[
D_{1,выборка} = \frac{10}{3} \approx 3.33
]
[
D_{2,выборка} = \frac{153}{3} = 51
]
Это тоже показывает, что дисперсия второго набора больше.
Итог: Дисперсия второго набора чисел больше.
