Угол противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 120 боковая сторона треугольника равна 8 см.Найдите диаметр окружности описанной около этого треугольника
Давайте разберем задачу по шагам. Нам дан равнобедренный треугольник, в котором:
- угол у основания равен 120°
- боковая сторона равна 8 см
- нужно найти диаметр описанной окружности (окружности, которая проходит через все три вершины треугольника)
Шаг 1. Определим известные параметры
Пусть треугольник — это ABC, где:
- AB = AC = 8 см (боковые стороны)
- угол при вершине A — противоположный основанию BC, равен 120°
Так как треугольник равнобедренный, то:
- AB = AC = 8 см
- угол при вершине A = 120°
Шаг 2. Найдём основание BC
Обозначим:
- угол при вершине A — ∠A = 120°
- боковые стороны — AB = AC = 8 см
По теореме косинусов для треугольника ABC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A \]
Подставляем известные значения:
\[ BC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \times 8 \times 8 \times \cos 120^\circ \]
Прежде, запишем:
\[ 8^2 = 64 \] \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \]
Теперь:
\[ BC^2 = 64 + 64 - 2 \times 8 \times 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ BC^2 = 128 - 128 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ BC^2 = 128 + 64 = 192 \]
Следовательно:
\[ BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3} \text{ см} \]
Шаг 3. Найдём радиус окружности, вписанной вокруг треугольника (окружности, описанной около треугольника)
Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности ( R ) через стороны и угол:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где:
- \( a, b, c \) — стороны треугольника
- \( S \) — площадь треугольника
Отлично, нам известны:
- \( a = AB = 8 \)
- \( b = AC = 8 \)
- \( c = BC = 8 \sqrt{3} \)
Шаг 4. Найдём площадь треугольника \(S\)
Иногда удобно вычислять площадь через формулу:
\[ S = \frac{1}{2}ab \sin \angle A \]
где:
\[ \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Подставляем:
\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Вычисляем:
\[ S = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 32 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Шаг 5. Найдём радиус R окружности
Подставляем значения в формулу:
\[ R = \frac{a b c}{4 S} \]
\[ R= \frac{8 \times 8 \times 8 \sqrt{3}}{4 \times 16 \sqrt{3}} \]
Упростим числитель:
\[ 8 \times 8 \times 8 \sqrt{3} = 512 \sqrt{3} \]
Обозначим знаменатель:
\[ 4 \times 16 \sqrt{3} = 64 \sqrt{3} \]
Делим:
\[ R = \frac{512 \sqrt{3}}{64 \sqrt{3}} = \frac{512}{64} = 8 \text{ см} \]
Ответ: диаметр описанной окружности равен 2R, то есть:
\[ \boxed{2 \times 8 = 16 \text{ см}} \]
Ответ: Диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.
