Чтобы найти выборочную дисперсию полученных оценок, воспользуемся следующими шагами:
Шаг 1. Запишем данные
Даны оценки и их вероятность:
| Оценка (x) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| Вероятность (P) |
0,21 |
0,16 |
0,13 |
0,16 |
0,34 |
Шаг 2. Найдём математическое ожидание (среднее значение) ( \bar{x} )
Математическое ожидание — это сумма произведений оценки на её вероятность:
[
\bar{x} = \sum x_i \cdot P(x_i)
]
Подставим значения:
[
\bar{x} = 1 \times 0,21 + 2 \times 0,16 + 3 \times 0,13 + 4 \times 0,16 + 5 \times 0,34
]
Вычислим по порядку:
[
1 \times 0,21 = 0,21
]
[
2 \times 0,16 = 0,32
]
[
3 \times 0,13 = 0,39
]
[
4 \times 0,16 = 0,64
]
[
5 \times 0,34 = 1,70
]
Теперь сложим все:
[
\bar{x} = 0,21 + 0,32 + 0,39 + 0,64 + 1,70 = 3,26
]
Шаг 3. Вычислим математическое ожидание квадрата оценок ( \sum x_i^2 \cdot P(x_i) )
Это понадобится для дисперсии:
[
E[x^2] = 1^2 \times 0,21 + 2^2 \times 0,16 + 3^2 \times 0,13 + 4^2 \times 0,16 + 5^2 \times 0,34
]
Вычислим каждое слагаемое:
[
1^2 \times 0,21 = 1 \times 0,21 = 0,21
]
[
2^2 \times 0,16 = 4 \times 0,16 = 0,64
]
[
3^2 \times 0,13 = 9 \times 0,13 = 1,17
]
[
4^2 \times 0,16 = 16 \times 0,16 = 2,56
]
[
5^2 \times 0,34 = 25 \times 0,34 = 8,50
]
Сложим:
[
E[x^2] = 0,21 + 0,64 + 1,17 + 2,56 + 8,50 = 13,08
]
Шаг 4. Вычислим выборочную дисперсию
Для выборочной дисперсии используется формула:
[
D = E[x^2] - (\bar{x})^2
]
Подставим значения:
[
D = 13,08 - (3,26)^2
]
Посчитаем ( (3,26)^2 ):
[
3,26^2 = 10,6276
]
Итак, дисперсия:
[
D = 13,08 - 10,6276 = 2,4524
]
Ответ: выборочная дисперсия полученных оценок равна примерно 2,45.
