пользователям популярной игровой программы было предложено оценить оценить очередную ее версию по пятибалльной шкале. результаты оценивания показаны в таблице: оценка: 1 2 3 4 5…

Чтобы найти выборочную дисперсию полученных оценок, воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1. Запишем данные

Даны оценки и их вероятность:

Шаг 2. Найдём математическое ожидание (среднее значение) \( \bar{x} \)

Математическое ожидание — это сумма произведений оценки на её вероятность: \[ \bar{x} = \sum x_i \cdot P(x_i) \]

Подставим значения: \[ \bar{x} = 1 \times 0,21 + 2 \times 0,16 + 3 \times 0,13 + 4 \times 0,16 + 5 \times 0,34 \]

Вычислим по порядку: \[ 1 \times 0,21 = 0,21 \] \[ 2 \times 0,16 = 0,32 \] \[ 3 \times 0,13 = 0,39 \] \[ 4 \times 0,16 = 0,64 \] \[ 5 \times 0,34 = 1,70 \]

Теперь сложим все: \[ \bar{x} = 0,21 + 0,32 + 0,39 + 0,64 + 1,70 = 3,26 \]

Шаг 3. Вычислим математическое ожидание квадрата оценок \( \sum x_i^2 \cdot P(x_i) \)

Это понадобится для дисперсии: \[ E[x^2] = 1^2 \times 0,21 + 2^2 \times 0,16 + 3^2 \times 0,13 + 4^2 \times 0,16 + 5^2 \times 0,34 \]

Вычислим каждое слагаемое: \[ 1^2 \times 0,21 = 1 \times 0,21 = 0,21 \] \[ 2^2 \times 0,16 = 4 \times 0,16 = 0,64 \] \[ 3^2 \times 0,13 = 9 \times 0,13 = 1,17 \] \[ 4^2 \times 0,16 = 16 \times 0,16 = 2,56 \] \[ 5^2 \times 0,34 = 25 \times 0,34 = 8,50 \]

Сложим: \[ E[x^2] = 0,21 + 0,64 + 1,17 + 2,56 + 8,50 = 13,08 \]

Шаг 4. Вычислим выборочную дисперсию

Для выборочной дисперсии используется формула: \[ D = E[x^2] - (\bar{x})^2 \]

Подставим значения: \[ D = 13,08 - (3,26)^2 \]

Посчитаем \( (3,26)^2 \): \[ 3,26^2 = 10,6276 \]

Итак, дисперсия: \[ D = 13,08 - 10,6276 = 2,4524 \]

Ответ: выборочная дисперсия полученных оценок равна примерно 2,45.