Номер 1130 и номер 1132
Конечно! Вот подробные решения для задач №1130 и №1132:
Задача 1130
Требуется: Решить уравнение: \[ \frac{x^3 - 2x^2 - 4x}{x^2 - 9} = \frac{2x + 4}{x^2 + 1}. \]
Шаги решения:
- Обозначим условие: Члены уравнения содержат дроби, поэтому определим область допустимых значений:
- знаменатели не равны нулю: \[ x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3, \] \[ x^2 + 1 \neq 0 \quad \text{(оно всегда не равно нулю, так как } x^2 \geq 0). \]
Перепишем уравнение: \[ \frac{x^3 - 2x^2 - 4x}{x^2 - 9} = \frac{2x + 4}{x^2 + 1}. \]
Сделаем крестовое умножение: \[ (x^3 - 2x^2 - 4x)(x^2 + 1) = (2x + 4)(x^2 - 9). \]
Раскроем скобки:
- Левая часть: \[ (x^3 - 2x^2 - 4x)(x^2 + 1) = x^3 \cdot (x^2 + 1) - 2x^2 (x^2 + 1) - 4x (x^2 + 1). \]
Раскроем каждое: \[ x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot 1 = x^5 + x^3, \] \[ -2x^2 \cdot x^2 - 2x^2 \cdot 1 = -2x^4 - 2x^2, \] \[ -4x \cdot x^2 - 4x \cdot 1 = -4x^3 - 4x. \]
Итого: \[ x^5 + x^3 - 2x^4 - 2x^2 - 4x^3 - 4x = x^5 - 2x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 4x. \]
- Правая часть: \[ (2x + 4)(x^2 - 9) = 2x \cdot x^2 - 2x \cdot 9 + 4 \cdot x^2 - 4 \cdot 9 = 2x^3 - 18x + 4x^2 - 36. \]
Запишем уравнение: \[ x^5 - 2x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 4x = 2x^3 + 4x^2 - 18x - 36. \]
Переносим все влево: \[ x^5 - 2x^4 - 3x^3 - 2x^2 - 4x - 2x^3 - 4x^2 + 18x + 36 = 0. \]
Объединим подобные члены: \[ x^5 - 2x^4 - (3x^3 + 2x^3) - (2x^2 + 4x^2) + (-4x + 18x) + 36 = 0, \] \[ x^5 - 2x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 14x + 36 = 0. \]
Решение кубического уравнения: Поскольку уравнение пятой степени довольно сложное, попробуем найти рациональные корни по теореме Виета: делители свободного члена (36) и делители старшего коэффициента (1):
Делители 36: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36.\)
Пробуем подставлять потенциальные корни.
Проверим \(x=1\): \[ 1 - 2 - 5 - 6 + 14 + 36 = 38 \neq 0. \]
\(x=-1\): \[ -1 - 2 + 5 - 6 - 14 +36 = 18 \neq 0. \]
\(x=2\): \[ 32 - 32 - 40 - 24 + 28 + 36 = 0. \] Да, \(x=2\) — корень!
- Делим многочлен на \((x - 2)\):
Используем полином Горнера или деление в столбик.
Деление: \[ x^5 - 2x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 14x + 36 \div (x - 2). \]
Результат — четвертичный многочлен.
Проводим деление: Результат деления: \(x^4 + 0x^3 - 5x^2 + 4x + 18\).
- Дальнейшее разложение:
Поскольку остальные корни могут быть более сложными, можно попытаться найти рациональные корни из делителей 18 (0, \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18\)), подставляя их в оставшийся многочлен \(x^4 - 5x^2 + 4x + 18\).
Пробуем \(x=1\): \[ 1 - 5 + 4 + 18= 18 \neq 0. \]
\(x=-1\): \[ 1 - 5 - 4 + 18= 10 \neq 0. \]
\(x=2\): \[ 16 - 20 + 8 + 18= 22 \neq 0. \]
\(x=-2\): \[ 16 - 20 - 8 + 18= 6 \neq 0. \]
Пробуем \(x=3\): \[ 81 - 45 + 12 + 18= 66 \neq 0. \]
\(x=-3\): \[ 81 - 45 - 12 + 18= 42 \neq 0. \]
Нет простых рациональных корней. Так как решение усложнилось, можно оставить решение в виде корней уравнения или использовать численные методы или компьютер.
Итог:
Ключевой корень — \(x = 2\). Остальные решаются численно.
Ответ:
\[
x = 2 \quad \text{(и возможные другие корни, найденные численно).}
\]
Задача 1132
Требуется: Построить график функции: \[ y = \frac{ x^2 (x + 2)}{x^2 - 9}. \]
Шаги:
Область определения: \[ x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3. \]
Анализ функции:
- Ассимптоты:
Вертикальные ассимптоты при \(x=3\) и \(x=-3\).
Горизонтальная ассимптота — при больших \(x\), так как степени равны, —
\[ y \sim \frac{x^3}{x^2} = x, \] то есть функция растет с наклоном 1 при больших \(x\).
Нули функции: Функция равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ x^2 (x+2) = 0 \Rightarrow x=0, \quad x=-2. \] Это — точки нуля.
Знак функции в допустимых областях:
Для \(|x|>3\):
числитель: \(x^2 (x+2)\): \[ x^2 \geq 0, \] \[ x+2>0 \text{, если } x>-2, \] иначе отрицательно.Знаменатель: \(x^2 - 9 > 0\) для \(|x|>3\).
- План построения:
- Начертить вертикальные ассимптоты \(x=\pm 3\).
- Провести точки нуля: (x=0, -2
