Найдите смежные углы если их разность и их сумма относятся к 2:9
Давайте разберём задачу пошагово. Я объясню всё подробно, чтобы понять, как найти смежные углы, если их разность и сумма относятся как 2 : 9.
Что такое смежные углы?
Смежные углы — это два угла, которые имеют общую сторону и вершину. Обычно, если они расположены на прямой, то сумма таких углов равна 180°, так как вместе они образуют прямую.
Постановка задачи
Нам даны два смежных угла: пусть один из них — это угол \(x\), а другой — это угол \(y\).
Обозначим:
- \(x\) и \(y\) — смежные углы
- Известно, что их разность и сумма относятся как 2 : 9.
То есть: \[ \frac{\text{разность}}{\text{сумма}} = \frac{2}{9} \]
По условию:
- Разность углов: \( |x - y| \)
- Сумма углов: \( x + y \)
И соотношение: \[ \frac{|x - y|}{x + y} = \frac{2}{9} \]
шаг 1. Определить, что такое смежные углы и их сумма
Если углы смежные, то их сумма равна 180°: \[ x + y = 180^\circ \]
Это ключевое условие. Значит, мы можем считать, что: \[ x + y = 180^\circ \]
шаг 2. Записать отношение разности и суммы
Теперь, пользуясь этим, подставим в соотношение:
\[ \frac{|x - y|}{180^\circ} = \frac{2}{9} \]
откуда:
\[ |x - y| = \frac{2}{9} \times 180^\circ \]
Посчитаем:
\[ |x - y| = \frac{2 \times 180^\circ}{9} = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ \]
шаг 3. Решить систему уравнений
Теперь у нас есть две вещи:
- \( x + y = 180^\circ \)
- \( |x - y| = 40^\circ \)
Рассмотрим два варианта из-за модуля:
Вариант 1:
\[ x - y = 40^\circ \]
Вариант 2:
\[ y - x = 40^\circ \quad \Rightarrow \quad x - y = -40^\circ \]
Поскольку угол не может быть отрицательным, мы решим оба варианта.
шаг 4. Решение системы для каждого варианта
Вариант 1:
\[
x + y = 180^\circ
\]
\[
x - y = 40^\circ
\]
Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 180^\circ + 40^\circ \] \[ 2x = 220^\circ \Rightarrow x = 110^\circ \]
Подставим \( x = 110^\circ \) в первое уравнение: \[ 110^\circ + y = 180^\circ \Rightarrow y = 70^\circ \]
Вариант 2:
\[
x + y = 180^\circ
\]
\[
x - y = -40^\circ
\]
Сложим уравнения: \[ (x + y) + (x - y) = 180^\circ - 40^\circ \] \[ 2x = 140^\circ \Rightarrow x = 70^\circ \]
Подставим \( x = 70^\circ \): \[ 70^\circ + y = 180^\circ \Rightarrow y= 110^\circ \]
Ответ:
Образуются два варианта решения, в каждом из которых сумма углов равна 180°, что подтверждает их смежность:
Первый случай:
\(\boxed{ x = 110^\circ, \quad y = 70^\circ }\)Второй случай:
\(\boxed{ x = 70^\circ, \quad y = 110^\circ }\)
Поскольку речь о смежных углах, важно, что их сумма равна 180°, а разность — 40°, что соответствует варианту.
Если остались вопросы или нужно подробнее — скажите!
