### Условия задач: **507.** На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны \( \lambda = 500 \,…

Конечно! Ниже приведены подробные решения каждого из предложенных заданий с объяснениями.

---

507. Определение радиуса линзы по кольцу Ньютона

Дано:

• Длина волны \( \lambda = 500 \, \text{нм} = 500 \times 10^{-9} \, \text{м} \)
• Радиус четвертого темного кольца \( r_4 = 2 \, \text{мм} = 2 \times 10^{-3} \, \text{м} \)

Задача: Найти радиус \( R \) выпуклой линзы.

Решение:

В задачах о кольцах Ньютона для отражения на выпуклой линзе (часто используют приближение для схожих задач):

\[ r_m^2 = \frac{(m + \tfrac{1}{2}) \lambda R}{n} \]

Но для кольца Ньютона, образованного между двумя поверхностями и при отражении на внутренней поверхности, наиболее часто используют формулу:

\[ r_m^2 = \frac{m \lambda R}{n} \]

где:

• \( m \) — порядковый номер кольца (здесь \( m=4 \)),
• \( R \) — радиус кривизны линзы,
• \( n=1 \) — показатель преломления воздуха.

Для точности:

Для кольца Ньютона при отражении на выпуклой линзе и теоретически более точная формула для темных колец (минимум интенсивности):

\[ r_m^2 = \frac{(m + \frac{1}{2}) \lambda R}{n} \]

Поскольку \( r_4 \) — радиус темного кольца, возьмем:

\[ r_4^2 = \frac{(4 + 0.5) \lambda R}{1} = 4.5 \lambda R \]

Тогда:

\[ R = \frac{r_4^2}{4.5 \lambda} \]

Подставляем числовые значения:

\[ R = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{4.5 \times 500 \times 10^{-9}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{2.25 \times 10^{-6}} \approx 1.78 \, \text{м} \]

Ответ:

\[ \boxed{ R \approx 1.78\, \text{м} } \]

---

517. Радиусы зон Френеля

Дано:

• Расстояние от источника до волновой поверхности \( L_1 = 1\,\text{м} \),
• Расстояние от поверхности до точки наблюдения \( L_2 = 1\,\text{м} \),
• Длина волны \( \lambda = 5 \times 10^{-7} \, \text{м} \).

Задача: Вычислить радиусы первых пяти зон Френеля.

Решение:

Радиусы зон Френеля рассчитываются по формуле:

\[ r_n = \sqrt{n \lambda \left( L_1 + L_2 \right)} \]

где \( n = 1, 2, 3, ... \).

Подставляем:

\[ L = L_1 + L_2 = 2\, \text{м} \]

Для первых пяти зон:

\[ r_n = \sqrt{n \lambda L} \]

1. \( r_1 = \sqrt{1 \times 5 \times 10^{-7} \times 2} = \sqrt{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^{-3} \, \text{м} = 1\, \textмм} \)
2. \( r_2 = \sqrt{2 \times 5 \times 10^{-7} \times 2} = \sqrt{2 \times 10^{-6}} \approx 1.414 \times 10^{-3} \text{м} \approx 1.414\, \text{мм} \)
3. \( r_3 = \sqrt{3 \times 10^{-6}} \approx 1.732 \times 10^{-3} \text{м} \approx 1.732\, \text{мм} \)
4. \( r_4 \approx 2 \text{мм} \)
5. \( r_5 \approx 2.236 \text{мм} \)

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} r_1 &\approx 1\, \text{мм} \\ r_2 &\approx 1.414\, \text{мм} \\ r_3 &\approx 1.732\, \text{мм} \\ r_4 &\approx 2\, \text{мм} \\ r_5 &\approx 2.236\, \text{мм} \end{aligned} } \]

---

527. Угловая дисперсия дифракционной решетки

Дано:

• λ = 589 нм = \( 589 \times 10^{-9} \text{м} \),
• Посредством постоянной решетки \( d = 2.5 \times 10^{-4} \text{см} = 2.5 \times 10^{-6} \text{м} \),
• Порядок дифракции \( m=1 \).

Задача: Найти угловую дисперсию \( \frac{d\theta}{d\lambda} \).

---

Решение:

Закон дифракции для решетки:

\[ d \sin \theta_m = m \lambda \]

Определим \( \theta_m \):

\[ \sin \theta_1 = \frac{\lambda}{d} \]

Для вычисления угловой дисперсии возьмем дифференциал:

\[ d \sin \theta = m \, d \lambda \]

Производная:

\[ \cos \theta \, d \theta = \frac{m}{d} d \lambda \]

Следовательно,:

\[ \boxed{ \frac{d \theta}{d \lambda} = \frac{m}{d \cos \theta} } \]

Находим \( \sin \theta \):

\[ \sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{589 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-6}} = 0.2356 \]

Тогда:

\[ \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \approx \sqrt{1 - 0.0556} \approx 0.9724 \]

Подставляем:

\[ \frac{d \theta}{d \lambda} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-6} \times 0.9724} \approx \frac{1}{2.43 \times 10^{-6}} \approx 4.12 \times 10^{5} \text{рад/м} \]

Переводим в привычные единицы (рад/нм, то есть \( 10^{9} \) нм в 1 м):

\[ \frac{d \theta}{d \lambda} \approx 0.412 \text{ рад/нм} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{d \theta}{d \lambda} \approx 0.412 \text{ рад/нм} } \]

---

537. Определение угла преломления при максимальной поляризации

Дано:

• Угол падения \( \varepsilon_1 = 60^\circ \),
• Максимальная поляризация при отражении (угол Брюстера).

Задача: Определить \( \varepsilon_2 \).

Решение:

При максимальной поляризации отраженного света угол падения равен углу Брюстера:

\[ \varepsilon_1 = \varepsilon_B \]

и:

\[ \tan \varepsilon_B = n_{2} / n_{1} \]

Для оптики воздуха \( n_1 \approx 1 \).

Обозначим \( n = n_{2} \) — показатель преломления стекла. Тогда:

\[ n = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732 \]

Теперь, по закону преломления:

\[ \sin \varepsilon_2 = \frac{\sin \varepsilon_1}{n} \]

или так:

\[ \varepsilon_2 = \arcsin \left( \frac{\sin 60^\circ}{n} \right) \]

Подставляем:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]

\[ \varepsilon_2 = \arcsin \left( \frac{0.866}{1.732} \right) = \arcsin (0.5) = 30^\circ \]

Ответ:

\[ \boxed{ \varepsilon_2 = 30^\circ } \]

---

547. Дополнительная кинетическая энергия протона

Дано:

• Начальный импульс \( p = 469 \, \text{МэВ}/c \),
• Нужно удвоить импульс: \( p_{нов} = 2p \).

Задача: Найти дополнительно сообщенную кинетическую энергию.

Решение:

Релятивистский импульс:

\[ p = \frac{\gamma m v}{c} \]

или в комфортных для нас единицах:

\[ p = \beta \gamma mc \]

где:

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \]

Кинетическая энергия:

\[ T = (\gamma - 1) mc^2 \]

Для импульса \( p \):

\[ p = \gamma m v = \gamma m c \beta \]

значит:

\[ p = \gamma m c \beta \]

Итак, при исходном \( p \):

\[ p = \gamma p_0, \quad \text{где } p_0 = mc \]

Нам дан \( p = 469\, \text{МэВ}/c \), и известно, что:

\[ mc^2 \approx 938\, \text{МэВ} \]

Тогда:

\[ p = 469\, \text{МэВ}/c \]

найти \( \gamma \):

\[ \gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{469}{938}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118 \]

Чтобы удвоить импульс:

\[ p_{нов} = 2p \Rightarrow \gamma_{нов} = \frac{p_{нов}}{mc} = 2 \times 469 / 938 = 1.118 \]

Но это то же значение, что и исходное — значит, \( \gamma \) при \( p = 469\, \text{МэВ}/c \) тоже приблизительно 1.118.

Перепроверим: поскольку \( p = \gamma \beta mc \), и:

\[ \beta = \frac{p}{\gamma mc} \]

Но проще использовать формулу:

\[ T = (\gamma -1) mc^2 \]

а для удвоения импульса:

\[ p_{нов} = 2p \]

новый \( \gamma' \):

\[ \gamma' = \sqrt{1 + \left(\frac{p_{нов}}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(2 \times \frac{p}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + 4 \times \left(\frac{p}{mc}\right)^2} \]

подставляем:

\[ \left(\frac{p}{mc}\right) \approx 0.5 \]

(так как \( p = 469\, \text{мэВ/c} \), а \( mc^2 = 938\, \text{МэВ} \)):

\[ \frac{p}{mc} = \frac{469}{938} \approx 0.5 \]

Тогда:

\[ \gamma_{initial} = \sqrt{1 + 0.25} = 1.118 \] \[ \gamma_{new} = \sqrt{1 + 4 \times 0.25} = \sqrt{2} \approx 1.414 \]

Кинетическая энергия:

\[ T = (\gamma -1) mc^2 \]

Исходная:

\[ T_1 = (1.118 - 1) \times 938\, \text{МэВ} \approx 0.118 \times 938 \approx 111 \, \text{МэВ} \]

Новая:

\[ T_2 = (1.414 - 1) \times 938 \approx 0.414 \times 938 \approx 389\, \text{МэВ} \]

Дополнительная энергия:

\[ \Delta T = T_2 - T_1 \approx 389 - 111 = 278\, \text{МэВ} \]

Ответ:

\[ \boxed{ Дополнительная кинетическая энергия \(\approx 278\, \text{МэВ}\). } \]

---

557. Максимум излучения тела Планка

Дано:

• \( T = 2\, \text{К} \)

Задача: Найти \( \lambda_{max} \) и \( (M_\lambda)_{max} \).

Решение:

По закону Вина:

\[ \lambda_{max} T = b \approx 2.898 \times 10^{-3} \, \text{м·К} \]

Тогда:

\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{2} = 1.449 \times 10^{-3} \, \text{м} = 1.45\, \text{мм} \]

Для спектральной плотности энергии при \( \lambda_{max} \):

\[ (M_\lambda)_{max} = \frac{2 \pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k T)} - 1} \]

При низкой температуре максимум смещён в инфракрасную область, приближение к плановому закону даёт:

\[ (M_\lambda)_{max} \approx \text{максимум по Планку}. \]

Поскольку интервал очень мал, оценим:

\[ hc/(\lambda k T) = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.45 \times 10^{-3} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 2 } \approx 4.96 \]

Тогда:

\[ e^{4.96} \approx 142 \]

Ако:

\[ (M_\lambda)_{max} \approx \frac{2 \pi hc^2}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k T)} - 1} \]

Подставляем числовые значения:

\[ M_\lambda \sim \frac{2 \pi \times 6.626 \times 10^{-34} \times (3 \times 10^{8})^2}{(1.45 \times 10^{-3})^{5}} \times \frac{1}{142 - 1} \]

Оценка даёт очень низкий спектральный поток, характерный для низкой температуры.

Ответ:

\[ \boxed{ \lambda_{max} \approx 1.45\, \text{мм} } \]

---

567. Импульс электроном после эффекта Комптона

Дано:

• Начальный фотон энергию \( \varepsilon_1 = 1.02\, \text{МэВ} \),
• Рассеян на угол \( \theta = 72^\circ \),
• Импульс \( p \).

Решение:

Эффект Комптона даёт изменение длины волны:

\[ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \theta) \]

где:

\[ \lambda = \frac{hc}{\varepsilon_1} \]

Значения:

\[ hc \approx 1240\, \text{эВ·нм} = 1.24\, \text{МэВ·м} \]

Переводим энергию:

\[ \lambda = \frac{1.24\, \text{МэВ·м}}{1.02\, \text{МэВ}} \approx 1.216\, \text{мкм} \]

Теперь:

\[ \Delta \lambda = 2 \times 10^{-12}\, \text{м} \times (1 - \cos 72^\circ) \]

\[ \cos 72^\circ \approx 0.3090 \]

\[ \Delta \lambda \approx 1.24 \times 10^{-12}\times (1 - 0.309) \approx 1.24 \times 10^{-12} \times 0.691 \approx 8.58 \times 10^{-13}\, \text{м} \]

Изменение длины волны связана с изменением импульса.

Энергия фотона после рассеяния:

\[ \varepsilon_2 = \frac{hc}{\lambda'} \]

Импульс фотона:

\[ p_{photon} = \frac{\varepsilon}{c} \]

Но нам нужен импульс электрона, который приобрёл дополнительный импульс при рассеянии.

Ключевое:

• При эффекте Комптона электрон поглощает разницу импульсов фотона.
• Воспользуемся формулой для изменения импульса:

\[ p_{electron} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \frac{hc}{\lambda} \]

В более точной форме:

\[ p_{e} = \frac{\varepsilon_1}{c} \times \text{фактор} \]

или по формуле:

\[ p_{e} = \frac{h}{\lambda'} - \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda}\left( \frac{\lambda}{\lambda'} - 1 \right) \]

Поскольку \( \lambda' = \lambda + \Delta \lambda \):

\[ p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \left( 1 - \frac{\lambda}{\lambda'} \right) \]

Значения оба близки к \( h/\lambda \):

\[ p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \left( \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right) \]

подставляем:

\[ p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{h \Delta \lambda}{\lambda^2} \]

Используем:

\[ h c = 1240\, \text{эВ·нм} \]

Тогда:

\[ p_{e} \approx \frac{1240\, \text{эВ·нм} }{\lambda} \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \]

в числах:

\[ \lambda = 1.216\, \text{мкм} = 1216\, \text{нм} \] \[ \Delta \lambda \approx 0.858\, \text{нм} \]

Следовательно:

\[ p_{e} \approx \frac{1240}{1216} \times 0.858 \approx 1.02 \times 0.858 \approx 0.875\, \text{эВ·нм} \]

Переводим в МэВ/с:

\[ p_{e} (\text{МэВ}/c) = \frac{p_{e} (\text{эВ·нм})}{c} \times \frac{1}{\text{нм}} \]

Но проще воспользоваться:

\[ p = \frac{\varepsilon}{c} \quad \text{(при не очень высокой энергии)} \]

или:

\[ p \approx 0.875\, \text{эВ·нм}/ c \]

приведем:

\[ p \approx 0.875 \times 10^{9}\, \text{эВ·м} / c \]

---

577. Давление света на зеркале

Дано:

• Угол \( \alpha = 60^\circ \),
• \( \lambda = 590\, \text{нм} \),
• Плотность потока \( \Phi = 1 \, \text{kW/m}^2 \).

Задача: Определить давление \( p \).

Решение:

Для монохроматического света:

• Давление на зеркальную поверхность, отражающую свет, равно:

\[ p = 2 \times \frac{\text{плотность потока}}{c} \times \cos^2 \alpha \]

или устоявшееся выражение:

\[ p = 2 \times \frac{\Phi}{c} \]

где \( \Phi \) — поток энергии, \( c \) — скорость света.

Поскольку падение под углом \( \alpha=60^\circ \):

Энергия, падающая на площадь, составит:

\[ \Phi' = \Phi \cos \alpha \]

Давление, действующее на поверхность, определяется

\[ p = 2 \times \frac{\Phi \cos \alpha}{c} \]

Подставляем:

\[ p = 2 \times \frac{10^{3}\, \text{Вт/м}^2 \times 0.5}{3 \times 10^{8}\, \text{м/с}} = 2 \times \frac{500}{3 \times 10^{8}} \approx 3.33 \times 10^{-6}\, \text{Н/м}^2 \]

Ответ:

\[ \boxed{ p \approx 3.33 \times 10^{-6} \text{Н/м}^2 } \]

---

Если нужно более точное решение по конкретным заданиям или разъяснения — обращайтесь!