Конечно! Ниже приведены подробные решения каждого из предложенных заданий с объяснениями.
507. Определение радиуса линзы по кольцу Ньютона
Дано:
- Длина волны ( \lambda = 500 , \text{нм} = 500 \times 10^{-9} , \text{м} )
- Радиус четвертого темного кольца ( r_4 = 2 , \text{мм} = 2 \times 10^{-3} , \text{м} )
Задача:
Найти радиус ( R ) выпуклой линзы.
Решение:
В задачах о кольцах Ньютона для отражения на выпуклой линзе (часто используют приближение для схожих задач):
[
r_m^2 = \frac{(m + \tfrac{1}{2}) \lambda R}{n}
]
Но для кольца Ньютона, образованного между двумя поверхностями и при отражении на внутренней поверхности, наиболее часто используют формулу:
[
r_m^2 = \frac{m \lambda R}{n}
]
где:
- ( m ) — порядковый номер кольца (здесь ( m=4 )),
- ( R ) — радиус кривизны линзы,
- ( n=1 ) — показатель преломления воздуха.
Для точности:
Для кольца Ньютона при отражении на выпуклой линзе и теоретически более точная формула для темных колец (минимум интенсивности):
[
r_m^2 = \frac{(m + \frac{1}{2}) \lambda R}{n}
]
Поскольку ( r_4 ) — радиус темного кольца, возьмем:
[
r_4^2 = \frac{(4 + 0.5) \lambda R}{1} = 4.5 \lambda R
]
Тогда:
[
R = \frac{r_4^2}{4.5 \lambda}
]
Подставляем числовые значения:
[
R = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{4.5 \times 500 \times 10^{-9}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{2.25 \times 10^{-6}} \approx 1.78 , \text{м}
]
Ответ:
[
\boxed{
R \approx 1.78, \text{м}
}
]
517. Радиусы зон Френеля
Дано:
- Расстояние от источника до волновой поверхности ( L_1 = 1,\text{м} ),
- Расстояние от поверхности до точки наблюдения ( L_2 = 1,\text{м} ),
- Длина волны ( \lambda = 5 \times 10^{-7} , \text{м} ).
Задача:
Вычислить радиусы первых пяти зон Френеля.
Решение:
Радиусы зон Френеля рассчитываются по формуле:
[
r_n = \sqrt{n \lambda \left( L_1 + L_2 \right)}
]
где ( n = 1, 2, 3, ... ).
Подставляем:
[
L = L_1 + L_2 = 2, \text{м}
]
Для первых пяти зон:
[
r_n = \sqrt{n \lambda L}
]
- ( r_1 = \sqrt{1 \times 5 \times 10^{-7} \times 2} = \sqrt{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^{-3} , \text{м} = 1, \textмм} )
- ( r_2 = \sqrt{2 \times 5 \times 10^{-7} \times 2} = \sqrt{2 \times 10^{-6}} \approx 1.414 \times 10^{-3} \text{м} \approx 1.414, \text{мм} )
- ( r_3 = \sqrt{3 \times 10^{-6}} \approx 1.732 \times 10^{-3} \text{м} \approx 1.732, \text{мм} )
- ( r_4 \approx 2 \text{мм} )
- ( r_5 \approx 2.236 \text{мм} )
Ответ:
[
\boxed{
\begin{aligned}
r_1 &\approx 1, \text{мм} \
r_2 &\approx 1.414, \text{мм} \
r_3 &\approx 1.732, \text{мм} \
r_4 &\approx 2, \text{мм} \
r_5 &\approx 2.236, \text{мм}
\end{aligned}
}
]
527. Угловая дисперсия дифракционной решетки
Дано:
- λ = 589 нм = ( 589 \times 10^{-9} \text{м} ),
- Посредством постоянной решетки ( d = 2.5 \times 10^{-4} \text{см} = 2.5 \times 10^{-6} \text{м} ),
- Порядок дифракции ( m=1 ).
Задача:
Найти угловую дисперсию ( \frac{d\theta}{d\lambda} ).
Решение:
Закон дифракции для решетки:
[
d \sin \theta_m = m \lambda
]
Определим ( \theta_m ):
[
\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{d}
]
Для вычисления угловой дисперсии возьмем дифференциал:
[
d \sin \theta = m , d \lambda
]
Производная:
[
\cos \theta , d \theta = \frac{m}{d} d \lambda
]
Следовательно,:
[
\boxed{
\frac{d \theta}{d \lambda} = \frac{m}{d \cos \theta}
}
]
Находим ( \sin \theta ):
[
\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{589 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-6}} = 0.2356
]
Тогда:
[
\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \approx \sqrt{1 - 0.0556} \approx 0.9724
]
Подставляем:
[
\frac{d \theta}{d \lambda} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-6} \times 0.9724} \approx \frac{1}{2.43 \times 10^{-6}} \approx 4.12 \times 10^{5} \text{рад/м}
]
Переводим в привычные единицы (рад/нм, то есть ( 10^{9} ) нм в 1 м):
[
\frac{d \theta}{d \lambda} \approx 0.412 \text{ рад/нм}
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{d \theta}{d \lambda} \approx 0.412 \text{ рад/нм}
}
]
537. Определение угла преломления при максимальной поляризации
Дано:
- Угол падения ( \varepsilon_1 = 60^\circ ),
- Максимальная поляризация при отражении (угол Брюстера).
Задача:
Определить ( \varepsilon_2 ).
Решение:
При максимальной поляризации отраженного света угол падения равен углу Брюстера:
[
\varepsilon_1 = \varepsilon_B
]
и:
[
\tan \varepsilon_B = n_{2} / n_{1}
]
Для оптики воздуха ( n_1 \approx 1 ).
Обозначим ( n = n_{2} ) — показатель преломления стекла. Тогда:
[
n = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732
]
Теперь, по закону преломления:
[
\sin \varepsilon_2 = \frac{\sin \varepsilon_1}{n}
]
или так:
[
\varepsilon_2 = \arcsin \left( \frac{\sin 60^\circ}{n} \right)
]
Подставляем:
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
]
[
\varepsilon_2 = \arcsin \left( \frac{0.866}{1.732} \right) = \arcsin (0.5) = 30^\circ
]
Ответ:
[
\boxed{
\varepsilon_2 = 30^\circ
}
]
547. Дополнительная кинетическая энергия протона
Дано:
- Начальный импульс ( p = 469 , \text{МэВ}/c ),
- Нужно удвоить импульс: ( p_{нов} = 2p ).
Задача:
Найти дополнительно сообщенную кинетическую энергию.
Решение:
Релятивистский импульс:
[
p = \frac{\gamma m v}{c}
]
или в комфортных для нас единицах:
[
p = \beta \gamma mc
]
где:
[
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}
]
Кинетическая энергия:
[
T = (\gamma - 1) mc^2
]
Для импульса ( p ):
[
p = \gamma m v = \gamma m c \beta
]
значит:
[
p = \gamma m c \beta
]
Итак, при исходном ( p ):
[
p = \gamma p_0, \quad \text{где } p_0 = mc
]
Нам дан ( p = 469, \text{МэВ}/c ), и известно, что:
[
mc^2 \approx 938, \text{МэВ}
]
Тогда:
[
p = 469, \text{МэВ}/c
]
найти ( \gamma ):
[
\gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{469}{938}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.118
]
Чтобы удвоить импульс:
[
p_{нов} = 2p \Rightarrow \gamma_{нов} = \frac{p_{нов}}{mc} = 2 \times 469 / 938 = 1.118
]
Но это то же значение, что и исходное — значит, ( \gamma ) при ( p = 469, \text{МэВ}/c ) тоже приблизительно 1.118.
Перепроверим: поскольку ( p = \gamma \beta mc ), и:
[
\beta = \frac{p}{\gamma mc}
]
Но проще использовать формулу:
[
T = (\gamma -1) mc^2
]
а для удвоения импульса:
[
p_{нов} = 2p
]
новый ( \gamma' ):
[
\gamma' = \sqrt{1 + \left(\frac{p_{нов}}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(2 \times \frac{p}{mc}\right)^2} = \sqrt{1 + 4 \times \left(\frac{p}{mc}\right)^2}
]
подставляем:
[
\left(\frac{p}{mc}\right) \approx 0.5
]
(так как ( p = 469, \text{мэВ/c} ), а ( mc^2 = 938, \text{МэВ} )):
[
\frac{p}{mc} = \frac{469}{938} \approx 0.5
]
Тогда:
[
\gamma_{initial} = \sqrt{1 + 0.25} = 1.118
]
[
\gamma_{new} = \sqrt{1 + 4 \times 0.25} = \sqrt{2} \approx 1.414
]
Кинетическая энергия:
[
T = (\gamma -1) mc^2
]
Исходная:
[
T_1 = (1.118 - 1) \times 938, \text{МэВ} \approx 0.118 \times 938 \approx 111 , \text{МэВ}
]
Новая:
[
T_2 = (1.414 - 1) \times 938 \approx 0.414 \times 938 \approx 389, \text{МэВ}
]
Дополнительная энергия:
[
\Delta T = T_2 - T_1 \approx 389 - 111 = 278, \text{МэВ}
]
Ответ:
[
\boxed{
Дополнительная кинетическая энергия (\approx 278, \text{МэВ}).
}
]
557. Максимум излучения тела Планка
Дано:
Задача:
Найти ( \lambda_{max} ) и ( (M_\lambda)_{max} ).
Решение:
По закону Вина:
[
\lambda_{max} T = b \approx 2.898 \times 10^{-3} , \text{м·К}
]
Тогда:
[
\lambda_{max} = \frac{b}{T} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{2} = 1.449 \times 10^{-3} , \text{м} = 1.45, \text{мм}
]
Для спектральной плотности энергии при ( \lambda_{max} ):
[
(M_\lambda)_{max} = \frac{2 \pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k T)} - 1}
]
При низкой температуре максимум смещён в инфракрасную область, приближение к плановому закону даёт:
[
(M_\lambda)_{max} \approx \text{максимум по Планку}.
]
Поскольку интервал очень мал, оценим:
[
hc/(\lambda k T) = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.45 \times 10^{-3} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 2 } \approx 4.96
]
Тогда:
[
e^{4.96} \approx 142
]
Ако:
[
(M_\lambda)_{max} \approx \frac{2 \pi hc^2}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{hc/(\lambda k T)} - 1}
]
Подставляем числовые значения:
[
M_\lambda \sim \frac{2 \pi \times 6.626 \times 10^{-34} \times (3 \times 10^{8})^2}{(1.45 \times 10^{-3})^{5}} \times \frac{1}{142 - 1}
]
Оценка даёт очень низкий спектральный поток, характерный для низкой температуры.
Ответ:
[
\boxed{
\lambda_{max} \approx 1.45, \text{мм}
}
]
567. Импульс электроном после эффекта Комптона
Дано:
- Начальный фотон энергию ( \varepsilon_1 = 1.02, \text{МэВ} ),
- Рассеян на угол ( \theta = 72^\circ ),
- Импульс ( p ).
Решение:
Эффект Комптона даёт изменение длины волны:
[
\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \theta)
]
где:
[
\lambda = \frac{hc}{\varepsilon_1}
]
Значения:
[
hc \approx 1240, \text{эВ·нм} = 1.24, \text{МэВ·м}
]
Переводим энергию:
[
\lambda = \frac{1.24, \text{МэВ·м}}{1.02, \text{МэВ}} \approx 1.216, \text{мкм}
]
Теперь:
[
\Delta \lambda = 2 \times 10^{-12}, \text{м} \times (1 - \cos 72^\circ)
]
[
\cos 72^\circ \approx 0.3090
]
[
\Delta \lambda \approx 1.24 \times 10^{-12}\times (1 - 0.309) \approx 1.24 \times 10^{-12} \times 0.691 \approx 8.58 \times 10^{-13}, \text{м}
]
Изменение длины волны связана с изменением импульса.
Энергия фотона после рассеяния:
[
\varepsilon_2 = \frac{hc}{\lambda'}
]
Импульс фотона:
[
p_{photon} = \frac{\varepsilon}{c}
]
Но нам нужен импульс электрона, который приобрёл дополнительный импульс при рассеянии.
Ключевое:
- При эффекте Комптона электрон поглощает разницу импульсов фотона.
- Воспользуемся формулой для изменения импульса:
[
p_{electron} = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \frac{hc}{\lambda}
]
В более точной форме:
[
p_{e} = \frac{\varepsilon_1}{c} \times \text{фактор}
]
или по формуле:
[
p_{e} = \frac{h}{\lambda'} - \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{\lambda}\left( \frac{\lambda}{\lambda'} - 1 \right)
]
Поскольку ( \lambda' = \lambda + \Delta \lambda ):
[
p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \left( 1 - \frac{\lambda}{\lambda'} \right)
]
Значения оба близки к ( h/\lambda ):
[
p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \left( \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \right)
]
подставляем:
[
p_{e} \approx \frac{h}{\lambda} \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{h \Delta \lambda}{\lambda^2}
]
Используем:
[
h c = 1240, \text{эВ·нм}
]
Тогда:
[
p_{e} \approx \frac{1240, \text{эВ·нм} }{\lambda} \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}
]
в числах:
[
\lambda = 1.216, \text{мкм} = 1216, \text{нм}
]
[
\Delta \lambda \approx 0.858, \text{нм}
]
Следовательно:
[
p_{e} \approx \frac{1240}{1216} \times 0.858 \approx 1.02 \times 0.858 \approx 0.875, \text{эВ·нм}
]
Переводим в МэВ/с:
[
p_{e} (\text{МэВ}/c) = \frac{p_{e} (\text{эВ·нм})}{c} \times \frac{1}{\text{нм}}
]
Но проще воспользоваться:
[
p = \frac{\varepsilon}{c} \quad \text{(при не очень высокой энергии)}
]
или:
[
p \approx 0.875, \text{эВ·нм}/ c
]
приведем:
[
p \approx 0.875 \times 10^{9}, \text{эВ·м} / c
]
577. Давление света на зеркале
Дано:
- Угол ( \alpha = 60^\circ ),
- ( \lambda = 590, \text{нм} ),
- Плотность потока ( \Phi = 1 , \text{kW/m}^2 ).
Задача:
Определить давление ( p ).
Решение:
Для монохроматического света:
- Давление на зеркальную поверхность, отражающую свет, равно:
[
p = 2 \times \frac{\text{плотность потока}}{c} \times \cos^2 \alpha
]
или устоявшееся выражение:
[
p = 2 \times \frac{\Phi}{c}
]
где ( \Phi ) — поток энергии, ( c ) — скорость света.
Поскольку падение под углом ( \alpha=60^\circ ):
Энергия, падающая на площадь, составит:
[
\Phi' = \Phi \cos \alpha
]
Давление, действующее на поверхность, определяется
[
p = 2 \times \frac{\Phi \cos \alpha}{c}
]
Подставляем:
[
p = 2 \times \frac{10^{3}, \text{Вт/м}^2 \times 0.5}{3 \times 10^{8}, \text{м/с}} = 2 \times \frac{500}{3 \times 10^{8}} \approx 3.33 \times 10^{-6}, \text{Н/м}^2
]
Ответ:
[
\boxed{
p \approx 3.33 \times 10^{-6} \text{Н/м}^2
}
]
Если нужно более точное решение по конкретным заданиям или разъяснения — обращайтесь!
