Решите задачу. 15 баллов Введите ответ в предложенное ниже поле. В ответе укажите только число без пробелов. Дан параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности.…

Дано: параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности (такой параллелограмм называется вписанным в окружность, следовательно, его противоположные углы равны 90°, то есть он является прямоугольником).

Но поскольку это параллелограмм, и вершины на окружности, то он обязательно является прямоугольником (по свойству: все вписанные в окружность параллелограммы — прямоугольники).

Итак, у нас:

• Радиус окружности R = 43,5 см
• Соотношение сторон: 20 : 21

Обозначим стороны параллелограмма:

• \( a \) — одна сторона
• \( b \) — другая сторона

по условию: \( a : b = 20 : 21 \)
тогда:
\[ a = 20k, \quad b = 21k \]

Периметр:
\[ P = 2(a + b) = 2(20k + 21k) = 2 \times 41k = 82k \]

Теперь, так как параллелограмм — вписанный в окружность прямоугольник, то его вершины лежат на окружности, и

• диагональ является диаметром окружности

Обозначим:

• диагональ \( d \)
• радиус R

Поскольку вершины лежат на окружности и диагональ — диаметр окружности, диаметрально противоположные вершины соединены диагональю, которая равна диаметру окружности:
\[ d = 2R = 2 \times 43,5 = 87 \text{ см} \]

В прямоугольнике диагональ связана со сторонами по теореме Пифагора:
\[ d^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим:
\[ (87)^2 = (20k)^2 + (21k)^2 \]

Посчитаем:
\[ 87^2 = 20^2k^2 + 21^2k^2 \] \[ 87^2 = (400k^2 + 441k^2) = 841k^2 \]

Найдем \( k \):
\[ 841k^2 = 87^2 \] \[ k^2 = \frac{87^2}{841} \]

Значение \( 87^2 \):
\[ 87^2 = 87 \times 87 = 7569 \]

Также заметим:
\[ 841 = 29^2 \]

Тогда:
\[ k^2 = \frac{7569}{841} = \frac{7569}{29^2} \]

Но так как:
\[ 7569 = 87^2 \], и \( 87/29 = 3 \) (так как \( 29 \times 3 = 87 \)), то:
\[ k^2 = (87/29)^2 = 3^2 = 9 \] \[ k = 3 \quad (\text{так как } k \ge 0) \]

Теперь найдем стороны:
\[ a = 20k = 20 \times 3 = 60 \text{ см} \]
\[ b = 21k = 21 \times 3 = 63 \text{ см} \]

Периметр:
\[ P = 2(a + b) = 2(60 + 63) = 2 \times 123 = 246 \text{ см} \]

Ответ:
\[ \boxed{246} \]