Дано: параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности (такой параллелограмм называется вписанным в окружность, следовательно, его противоположные углы равны 90°, то есть он является прямоугольником).
Но поскольку это параллелограмм, и вершины на окружности, то он обязательно является прямоугольником (по свойству: все вписанные в окружность параллелограммы — прямоугольники).
Итак, у нас:
- Радиус окружности R = 43,5 см
- Соотношение сторон: 20 : 21
Обозначим стороны параллелограмма:
- ( a ) — одна сторона
- ( b ) — другая сторона
по условию: ( a : b = 20 : 21 )
тогда:
[ a = 20k, \quad b = 21k ]
Периметр:
[ P = 2(a + b) = 2(20k + 21k) = 2 \times 41k = 82k ]
Теперь, так как параллелограмм — вписанный в окружность прямоугольник, то его вершины лежат на окружности, и
- диагональ является диаметром окружности
Обозначим:
Поскольку вершины лежат на окружности и диагональ — диаметр окружности, диаметрально противоположные вершины соединены диагональю, которая равна диаметру окружности:
[ d = 2R = 2 \times 43,5 = 87 \text{ см} ]
В прямоугольнике диагональ связана со сторонами по теореме Пифагора:
[ d^2 = a^2 + b^2 ]
Подставим:
[ (87)^2 = (20k)^2 + (21k)^2 ]
Посчитаем:
[ 87^2 = 20^2k^2 + 21^2k^2 ]
[ 87^2 = (400k^2 + 441k^2) = 841k^2 ]
Найдем ( k ):
[ 841k^2 = 87^2 ]
[ k^2 = \frac{87^2}{841} ]
Значение ( 87^2 ):
[ 87^2 = 87 \times 87 = 7569 ]
Также заметим:
[ 841 = 29^2 ]
Тогда:
[ k^2 = \frac{7569}{841} = \frac{7569}{29^2} ]
Но так как:
[ 7569 = 87^2 ], и ( 87/29 = 3 ) (так как ( 29 \times 3 = 87 )), то:
[ k^2 = (87/29)^2 = 3^2 = 9 ]
[ k = 3 \quad (\text{так как } k \ge 0) ]
Теперь найдем стороны:
[ a = 20k = 20 \times 3 = 60 \text{ см} ]
[ b = 21k = 21 \times 3 = 63 \text{ см} ]
Периметр:
[ P = 2(a + b) = 2(60 + 63) = 2 \times 123 = 246 \text{ см} ]
Ответ:
[ \boxed{246} ]
