Реши
Давайте подробно решим эту задачу.
Задача:
Дано:
\[ \begin{cases}
4x + 3y = 9 \\
x^2 - y^2 = 9
\end{cases} \]
Требуется найти:
x и y.
Шаг 1. Упростим уравнения.
Первое уравнение: \[ 4x + 3y = 9 \]
Второе уравнение — разность квадратов: \[ x^2 - y^2 = 9 \]
Можно представить как разность квадратов: \[ (x - y)(x + y) = 9 \]
Шаг 2. Выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения.
Из первого уравнения: \[ 3y = 9 - 4x \] \[ y = \frac{9 - 4x}{3} \]
Шаг 3. Подставим выражение для \( y \) в второе уравнение.
Подставляем в \[ (x - y)(x + y) = 9 \]:
Первое: \[ x + y = x + \frac{9 - 4x}{3} \]
Второе: \[ x - y = x - \frac{9 - 4x}{3} \]
Найдем \( x + y \): \[ x + y = \frac{3x + 9 - 4x}{3} = \frac{(3x - 4x) + 9}{3} = \frac{-x + 9}{3} \]
Найдем \( x - y \): \[ x - y = \frac{3x - (9 - 4x)}{3} = \frac{3x - 9 + 4x}{3} = \frac{7x - 9}{3} \]
Теперь можем написать: \[ (x - y)(x + y) = \left( \frac{7x - 9}{3} \right) \left( \frac{-x + 9}{3} \right) = 9 \]
Объединим: \[ \frac{(7x - 9)(-x + 9)}{9} = 9 \]
Умножим обе стороны на 9: \[ (7x - 9)(-x + 9) = 81 \]
Шаг 4. Раскроем скобки.
Произведение: \[ (7x - 9)(-x + 9) \]
Раскроем применяя дистрибутив: \[ 7x * (-x) + 7x * 9 - 9 * (-x) - 9 * 9 \]
Считаем каждый член: \[ -7x^2 + 63x + 9x - 81 \]
Объединим похожие: \[ -7x^2 + (63x + 9x) - 81 = -7x^2 + 72x - 81 \]
Равно 81, значит уравнение: \[ -7x^2 + 72x - 81 = 81 \]
Переносим 81 в левую часть: \[ -7x^2 + 72x - 81 - 81 = 0 \] \[ -7x^2 + 72x - 162 = 0 \]
Можно умножить всю уравнение на -1 для удобства: \[ 7x^2 - 72x + 162 = 0 \]
Шаг 5. Решим квадратичное уравнение.
Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a=7\), \(b=-72\), \(c=162\).
Рассчитаем: \[ D = (-72)^2 - 4 * 7 * 162 \] \[ D = 5184 - 4 * 7 * 162 \]
Посчитаем: \[ 4 * 7 = 28 \] \[ 28 * 162 = 4536 \]
Итак: \[ D = 5184 - 4536 = 648 \]
Корень из дисcriminанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{648} \]
Можем представить: \[ \sqrt{648} = \sqrt{144 * 4.5} = 12 * \sqrt{4.5} \]
или оставить как есть для точных вычислений.
Решение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{72 \pm \sqrt{648}}{2 * 7} \] \[ x = \frac{72 \pm \sqrt{648}}{14} \]
Шаг 6. Найдём два значения для \( x \).
Запишем: \[ x_1 = \frac{72 + \sqrt{648}}{14} \] \[ x_2 = \frac{72 - \sqrt{648}}{14} \]
Шаг 7. Найдём соответствующие \( y \).
Из ранее полученного выражения: \[ y = \frac{9 - 4x}{3} \]
Подставим \( x_1 \) и \( x_2 \):
- Для \( x_1 \):
\[ y_1 = \frac{9 - 4x_1}{3} \]
- Для \( x_2 \):
\[ y_2 = \frac{9 - 4x_2}{3} \]
Итог
Ответ:
Корни \( x \) и \( y \):
\[ x = \frac{72 \pm \sqrt{648}}{14} \] \[ y = \frac{9 - 4x}{3} \]
Можно оставить так, или подставить числовые приближения:
\[ \sqrt{648} \approx 25.45 \]
Тогда:
\[ x_1 \approx \frac{72 + 25.45}{14} \approx \frac{97.45}{14} \approx 6.96 \] \[ x_2 \approx \frac{72 - 25.45}{14} \approx \frac{46.55}{14} \approx 3.33 \]
и
\[ y_1 \approx \frac{9 - 4 * 6.96}{3} \approx \frac{9 - 27.84}{3} \approx \frac{-18.84}{3} \approx -6.28 \] \[ y_2 \approx \frac{9 - 4 * 3.33}{3} \approx \frac{9 - 13.32}{3} \approx \frac{-4.32}{3} \approx -1.44 \]
Итоговые решения:
\[ \boxed{ \begin{cases} x \approx 6.96, \quad y \approx -6.28 \\ x \approx 3.33, \quad y \approx -1.44 \end{cases} } \]
Если нужны более точные или символические ответы, используют исходные выражения.
