Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Задача: при каких значениях ( a ) выражение ( \frac{2a - 5}{a} ) принимает положительные значения?
Шаг 1: Запишем условие
Для того, чтобы выражение было > 0:
[
\frac{2a - 5}{a} > 0
]
Шаг 2: Анализ знаков дроби
Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак — оба положительны или оба отрицательны.
Важно: нельзя делить на ноль, поэтому ( a \neq 0 ).
Шаг 3: Разобьём на случаи
Случай 1: числитель и знаменатель > 0
[
2a - 5 > 0 \quad \text{и} \quad a > 0
]
Рассмотрим первое неравенство:
[
2a - 5 > 0 \Rightarrow 2a > 5 \Rightarrow a > \frac{5}{2}
]
Значит:
[
a > \frac{5}{2} \quad \text{и} \quad a > 0
]
Первое условие уже подразумевает, что ( a > \frac{5}{2} ).
Случай 2: числитель и знаменатель < 0
[
2a - 5 < 0 \quad \text{и} \quad a < 0
]
Рассмотрим неравенство для числителя:
[
2a - 5 < 0 \Rightarrow 2a < 5 \Rightarrow a < \frac{5}{2}
]
Но при этом нужно, чтобы ( a < 0 ). Следовательно, условие:
[
a < 0
]
и при этом ( a < \frac{5}{2} ) — это всегда верно для всех ( a < 0 ).
Итоговые условия:
- ( \frac{2a - 5}{a} > 0 ) при:
- ( a > \frac{5}{2} ) (числитель и знаменатель > 0),
- или ( a < 0 ) (числитель и знаменатель < 0).
Ответ:
[
\boxed{
a \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)
}
]
Дополнение: не забываем, что деление на ноль запрещено, а в этих диапазонах ( a \neq 0 ), что соблюдается, поскольку ( 0 ) не входит в интервал.
Если нужно более подробное объяснение или есть уточнения — скажи!
