При каких значениях a a выражение 2 a − 5 2a−5 принимает положительные значения?
Давайте разберёмся с задачей по шагам.
Задача: при каких значениях \( a \) выражение \( \frac{2a - 5}{a} \) принимает положительные значения?
Шаг 1: Запишем условие
Для того, чтобы выражение было > 0:
\[ \frac{2a - 5}{a} > 0 \]
Шаг 2: Анализ знаков дроби
Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак — оба положительны или оба отрицательны.
Важно: нельзя делить на ноль, поэтому \( a \neq 0 \).
Шаг 3: Разобьём на случаи
Случай 1: числитель и знаменатель > 0
\[ 2a - 5 > 0 \quad \text{и} \quad a > 0 \]
Рассмотрим первое неравенство:
\[ 2a - 5 > 0 \Rightarrow 2a > 5 \Rightarrow a > \frac{5}{2} \]
Значит:
\[ a > \frac{5}{2} \quad \text{и} \quad a > 0 \]
Первое условие уже подразумевает, что \( a > \frac{5}{2} \).
Случай 2: числитель и знаменатель < 0
\[ 2a - 5 < 0 \quad \text{и} \quad a < 0 \]
Рассмотрим неравенство для числителя:
\[ 2a - 5 < 0 \Rightarrow 2a < 5 \Rightarrow a < \frac{5}{2} \]
Но при этом нужно, чтобы \( a < 0 \). Следовательно, условие:
\[ a < 0 \]
и при этом \( a < \frac{5}{2} \) — это всегда верно для всех \( a < 0 \).
Итоговые условия:
- \( \frac{2a - 5}{a} > 0 \) при:
- \( a > \frac{5}{2} \) (числитель и знаменатель > 0),
- или \( a < 0 \) (числитель и знаменатель < 0).
Ответ:
\[ \boxed{ a \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right) } \]
Дополнение: не забываем, что деление на ноль запрещено, а в этих диапазонах \( a \neq 0 \), что соблюдается, поскольку \( 0 \) не входит в интервал.
Если нужно более подробное объяснение или есть уточнения — скажи!
