Выберите верные утверждения. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются. Все хорды одной окружности равны между собой. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника

Рассмотрим каждое утверждение подробно и проверим его на правильность. --- **1. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.** - Диаметр окружности — это удвоенный радиус. Пусть радиусы окружностей: \( r_1 \) и \( r_2 \). - Тогда их диаметры: \( 2r_1 \) и \( 2r_2 \). - Условие: расстояние между центрами — \( d \). - Утверждение гласит: \( d > 2r_1 + 2r_2 \). Разберёмся: - Если \( d > 2r_1 + 2r_2 \), то расстояние между центрами больше суммы диаметров. - Пример: радиусы 1 и 2, диаметры 2 и 4, сумма 6. Если \( d > 6 \), окружности не пересекаются, поскольку они слишком далеко друг от друга. - В общем случае, чтобы окружности не пересекались и не касались, расстояние между центрами должно быть больше суммы радиусов: \( d > r_1 + r_2 \). Но в утверждении говорится о сумме диаметров, а не радиусов: - \( 2r_1 + 2r_2 \) — это сумма диаметров. - Если \( d > 2r_1 + 2r_2 \), то, по определению, окружности точно не пересекаются, так как они слишком далеко. Итог: **Да, это верное утверждение.** --- **2. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.** - Радиусы: \( r_1 = 3 \), \( r_2 = 5 \). - Расстояние между центрами: \( d = 1 \). Проверим: - Если окружности пересекаются, то условие: \( |r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2 \). - Радиусовые разницы: \( |5 - 3| = 2 \). - Сумма радиусов: \( 3 + 5 = 8 \). - Наше расстояние: \( d = 1 \). Поскольку \( d = 1 \), которое меньше, чем разница радиусов (2), это условие говорит о том, что одна окружность полностью внутри другой, и они не пересекаются, а касаются или не касаются. На самом деле, для пересечения окружностей необходимо, чтобы: \[ |r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2. \] Подставим: \( 2 \leq 1 \leq 8 \). Но условие \( 2 \leq 1 \) — неверно, значит: - Окружности **не пересекаются**; они находятся на расстоянии меньше разницы радиусов, одна внутри другой. ИТОГ: **Это утверждение неверно.** --- **3. Все хорды одной окружности равны между собой.** Это утверждение верно только для особенных случаев — только для так называемой **дуги-правильной окружности с диаметром**, где все хорды равны, например, при равнобедренной треугольной симметрии. На практике, у окружности можно провести много разных по длине хорд. - Если все хорды равны, то окружность должна быть каким-то особым образом ограничена — это невозможно, ведь можно выбрать разные точки на окружности и провести хорды разной длины. Например: - Диаметральная хорда — максимальная, её длина равна диаметру. - Хорды, проведённые в разной точке, могут иметь разную длину. Идея: **не все хорды одной окружности равны между собой**. **Ответ: это утверждение — неверно**. --- **4. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.** - Центр описанной окружности (циркуль) — это точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры сторон. Он называется **циркуль**. Расположение центра описанной окружности зависит от формы треугольника: - В равностороннем треугольнике центр, центр окружности, центр тяжести и центр вписанной окружности совпадают и лежат внутри. - В неравностороннем треугольнике центр описанной окружности **может находиться внутри, на стороне или вне треугольника**, например, в случае очень вытянутого треугольника. Пример: очень острый треугольник, центр описанной окружности находится внутри. Но если треугольник очень острый или очень остроугольный (неравносторонний), центр окружности может быть вне треугольника. **Наиболее точный ответ:** Для общего треугольника **не обязательно** центр описанной окружности лежит внутри. Он может находиться вне или на стороне. Итог: **Это утверждение неверно в общем случае.** --- ## Итоги 1. Верно 2. Неверно 3. Неверно 4. Неверно --- Если нужно, я могу подготовить объяснения по каждому из пунктов более подробно!