Выберите верные утверждения. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек. Если радиусы двух окружностей равны…

Рассмотрим каждое утверждение подробно и проверим его на правильность.

---

1. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

• Диаметр окружности — это удвоенный радиус. Пусть радиусы окружностей: \( r_1 \) и \( r_2 \).
• Тогда их диаметры: \( 2r_1 \) и \( 2r_2 \).
• Условие: расстояние между центрами — \( d \).
• Утверждение гласит: \( d > 2r_1 + 2r_2 \).

Разберёмся:

• Если \( d > 2r_1 + 2r_2 \), то расстояние между центрами больше суммы диаметров.
• Пример: радиусы 1 и 2, диаметры 2 и 4, сумма 6. Если \( d > 6 \), окружности не пересекаются, поскольку они слишком далеко друг от друга.
• В общем случае, чтобы окружности не пересекались и не касались, расстояние между центрами должно быть больше суммы радиусов: \( d > r_1 + r_2 \).

Но в утверждении говорится о сумме диаметров, а не радиусов:

• \( 2r_1 + 2r_2 \) — это сумма диаметров.
• Если \( d > 2r_1 + 2r_2 \), то, по определению, окружности точно не пересекаются, так как они слишком далеко.

Итог: Да, это верное утверждение.

---

2. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

• Радиусы: \( r_1 = 3 \), \( r_2 = 5 \).
• Расстояние между центрами: \( d = 1 \).

Проверим:

• Если окружности пересекаются, то условие: \( |r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2 \).

• Радиусовые разницы: \( |5 - 3| = 2 \).

• Сумма радиусов: \( 3 + 5 = 8 \).

• Наше расстояние: \( d = 1 \).

Поскольку \( d = 1 \), которое меньше, чем разница радиусов (2), это условие говорит о том, что одна окружность полностью внутри другой, и они не пересекаются, а касаются или не касаются.

На самом деле, для пересечения окружностей необходимо, чтобы:

\[ |r_1 - r_2| \leq d \leq r_1 + r_2. \]

Подставим: \( 2 \leq 1 \leq 8 \).

Но условие \( 2 \leq 1 \) — неверно, значит:

• Окружности не пересекаются; они находятся на расстоянии меньше разницы радиусов, одна внутри другой.

ИТОГ: Это утверждение неверно.

---

3. Все хорды одной окружности равны между собой.

Это утверждение верно только для особенных случаев — только для так называемой дуги-правильной окружности с диаметром, где все хорды равны, например, при равнобедренной треугольной симметрии.

На практике, у окружности можно провести много разных по длине хорд.

• Если все хорды равны, то окружность должна быть каким-то особым образом ограничена — это невозможно, ведь можно выбрать разные точки на окружности и провести хорды разной длины.

Например:

• Диаметральная хорда — максимальная, её длина равна диаметру.
• Хорды, проведённые в разной точке, могут иметь разную длину.

Идея: не все хорды одной окружности равны между собой.

Ответ: это утверждение — неверно.

---

4. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

• Центр описанной окружности (циркуль) — это точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры сторон. Он называется циркуль.

Расположение центра описанной окружности зависит от формы треугольника:

• В равностороннем треугольнике центр, центр окружности, центр тяжести и центр вписанной окружности совпадают и лежат внутри.
• В неравностороннем треугольнике центр описанной окружности может находиться внутри, на стороне или вне треугольника, например, в случае очень вытянутого треугольника.

Пример: очень острый треугольник, центр описанной окружности находится внутри. Но если треугольник очень острый или очень остроугольный (неравносторонний), центр окружности может быть вне треугольника.

Наиболее точный ответ:
Для общего треугольника не обязательно центр описанной окружности лежит внутри. Он может находиться вне или на стороне.

Итог:
Это утверждение неверно в общем случае.

---

Итоги

1. Верно
2. Неверно
3. Неверно
4. Неверно

---

Если нужно, я могу подготовить объяснения по каждому из пунктов более подробно!