составить краткий конспект по ниже приведённому тексту, ответить на данные вопросы и выполнить задание Условная вероятность и правило умножения вероятностей Рассказ об условной…
Составить краткий конспект по ниже приведённому тексту, ответить на данные вопросы и выполнить задание Условная вероятность и правило умножения вероятностей Рассказ об условной нероитности начием с примера, и котором нет ни слова о не- роятпостях. ПРимер 1. В пекотором городе 48% паселения - мужчины (для простоты к мужчинам отнесем всех жителей мужского пола, вилючан детей). Среди мужчин 55% работают, Какую часть жителей города составляют работающие мужчины? Такие задачи решаются с помонью правила умножения: чтобы пайти часть от числа, выраженную дробью, нужно число умножить на эту дробь, Предположим, что в городе всего жителей. Тогда жителей мужского пола в городе 0,48 человек. Теперь, пользуясь этим же правилом, найдем число работиющих мужчин: нужно полученную челичину умножить на дробь 0,55: n - 0,48 - 0,,55. Значит, доля работающих мужчих равна 0,48 0,550,48-0,55-0,264. Общая численность жителей п, по сути, в решении не участвует. Результат получается умножением чисел 0,18 и 0,55. Эту же задачу можно сформулировать, укалынан пе доли, и пероятности. Рассмотрим случайиый опыт, в котором из всех жителей случайным образом выбирается одип. Введём обозначения для событий. Пусть B (выбранный житель окажется мужчиной). A - (выбранный житель работает). Веролтность события В равна доле мужчин, то есть 0,18, Вероятность события А неизвестиа. Чо зато известии веронтиость этого событии при условии, что выбран мужчина, - это доля работающих мужчин, то есть 0,55. Это условнам вероятность события А при условии В. Обозначают е P(A|B). В нашем случне P(A|B) - 0,55. Вопрое теперь звучит иначе. Вместо того, чтобы спросить, какую часть составляют работающие мужчины, спросим, какова перонтность событии «выбранный житель работающий мужчина». Иными словами, нужно найти вероятность события АпВ, которое состонт и том, что выбранный житель окажется мужчиной и при этом работвет. Применим то же правило, но теперь множители не доли, а вероитности: - - 0,18 0,55 - 0,264. Дадим определение условной пероятности. Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А при условии В. Обозначается эта вероятность P(A B), Из правила нахождения части от величины мы получили правило умножения вероятностей.равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности другого: Это правило можно проиллюстрировать с помощью цепи SBA (рис. 39). Около ребер написаны перонтио- сти. Сначала из начальной точки S мы вероятностью Р(В) «переходим» к событию В, а затем к событию А, по уже с условной веролтностью P(A.B). В результате осуществляются оба события, а аначит, их пересечение АпB. 0, 4 0,55 Рисунок 39 Такое изображение наглндно: нужно просто умножать веронтности вдоль цепи в графе случайкого опыта. Правило умножения мы получили па примере, по оно верно для любых случайных событий в любых случайных опытах и очень полеано при решении задач. пРИмЕР 2. В коробке 3 синих и 7 красных карандашей. По очереди извлекают 2 карандаша. Найдем вероптность того, что сначала появится красный, затем синий карандан. Можно построить довольно обширное множество элементарных событий (пар карандашей) и раабираться, сколько на них благоприятствуют появлению сначала красного, потом синего карандаша, Это неудобно, Решим задачу иначе. Решенне. Пусть событие А состоит в том, что первый карандан оказался красным, тогда PlA) После того как это случилось, в коробке остается 3 синих и 6 красных казандашей. Значит, неронтность событин В епторой карандаш синий при услонии А рания P(BIO) Требуется найти вероятность того, что оба события произошли, т. е. вероитность события P(AnB): 7 P(AnB) - P(A) P(B)A) - 10 30 ПРИМЕР 3. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Ве- ролтность того, что к концу дня кофе закончител в каждом отдельном автомате, ранна 0,3. В обоих аптоматах кофе заканчивается к вечеру с пероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить антоматы, и обнаружил, что во итором антомате кофе закончился. Кикова теперь верожтность, что и в первом автомате уже нет кофе? Решение, Обозначим событий, Пусть А- (оре закочилея в первом автомате). B - (кофе закончился во втором антомите). Нужно найти условную вероятность P(A.B). По условию P(B) - 0,3 и P(AOB) - 0,21. Запишем правило умножения вероятностей: P(ANB) - P(B) P(A.B) и выралим из него нужную веролтность: P(A B)- PlAnB) 0,21 0.7. P(B) 0,3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ мы узнали, что во втором автомате кофе закончилея, Теперь вероятность события А пыросла до 0,7. Это понитно: как только по птором антомате кофе закончился, посетители торгового центра стали пользоваться только перным, и кофе и нем стал расходоваться быстрее, На этом примере мы получили формулу условной веролтности. Формула условной вероятности. Если вероятность события В больше нуля, то P(A/B) PanB) P(B) Вопросы 1 Запишите обозначение для условной вероятности события С при условии события Б. 2 Чему равна условная вероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпала решка? 3 Чему равна условная пероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпал орёл? 4 В некотором опыте произошло событие В. Может ли это увеличить вероятность другого события; уменьшить вероятность другого события? Приведите примеры, когда условная вероятность события больше и когда она меньше исходной вероятности этого события. Задачи 101 При диукратном бросании монеты в перный раз выпала решка, Найдите условную вероятность события: a) «оба раза выпадет решка»; б) «выпадет хоти бы один орел»; b) «выпадут два орли». 102 При днукратном бросании игральной кости сумма выпавших очкон равна 8. Найдите условную вероятность события: a) «в первый раз выпадет 3 очка»; б) «при одном из бросков ныпадет 3 откл»; n) «н перный раз вынадет меньше 5 очков»; г) «во пторой раз выпадет меньше 2 очков». 103 При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков ранна 9. Найдите условную вероятность события: a) «в первый раз выпадет 5 очков»; б) «при одном из бросков ныпадет 4 очка»; n) «и перный раз выпадет меньше очков, чем во второй»; г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка». 104 Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите не- роятность того, что после второго броска сумма очков окажется: n) равна 9; б) больше чем 7; n) больше чем 10; г) меньше чем 5.
Конспект по условной вероятности и правилу умножения вероятностей:
1. Введение:
- Условная вероятность — это вероятность события А при условии, что произошло событие В, обозначается как P(A|B).
- Правило умножения вероятностей показывает, как найти вероятность совместного наступления двух событий: \( P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \).
- Можно представить процесс с помощью цепи событий, где относительно ребер указаны вероятности, а для нахождения совместной — умножается последовательность вероятностей.
2. Примеры:
- В городе 48% населения — мужчины, среди них 55% работают. Вероятность того, что случайно выбранный житель — работающий мужчина: \( 0,48 \times 0,55 = 0,264 \).
- В коробке 3 синих и 7 красных карандашей. Вероятность, что первый — красный, а второй — синий: \( \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} = 0,233 \).
- В торговом центре автоматов кофе: вероятность, что кофе закончится в одном — 0,3. Вероятность, что в обоих — 0,21. После обнаружения в одном автомате кофе исчезли, вероятность в другом все еще 0,3, условная вероятность в первом тогда увеличилась.
3. Формулы:
- Условная вероятность: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), если \( P(B) > 0 \).
- Правило умножения: \( P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \).
- Независимые события: если события \( A \) и \( B \) независимы, то \( P(A|B) = P(A) \).
Ответы на вопросы:
1. Запишите обозначение для условной вероятности события C при условии события B.
Ответ: \( P(C|B) \).
2. Чему равна условная вероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпала решка?
Ответ: Вероятность того, что во втором броске — орёл, равна \( P(\text{орёл во 2-м}|\text{решка в 1-м}) \). Поскольку броски независимы, это равно \( P(\text{орёл}) = \frac{1}{2} \).
3. Чему равна условная вероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпал орёл?
Ответ: Аналогично — броски независимы, потому \( P(\text{2 орла}|\text{орёл в 1-м}) = P(\text{орёл во 2-м}) = \frac{1}{2} \).
4. Может ли это событие увеличить или уменьшить вероятность другого события? Приведите примеры.
Ответ:
- Могут увеличиться: если событие В даёт информацию, что событие А более вероятно, например, если мы узнали, что автомат закончился кофе в обеих машинах, то вероятность, что в первом автомате тоже закончилось кофе, увеличивается.
- Могут уменьшиться: если событие В показывает, что событие А маловероятно, например, знание, что в автомате не закончился кофе, уменьшает вероятность, что в другом автомате тоже не осталось кофе (если есть зависимость).
Задачи:
101. При двукратном бросании монеты:
- а) «Оба раза выпадет решка», если в первый раз решка, то вероятность «оба решения» равна \( P(\text{решка во 2-м}| \text{решка в 1-м}) \times 1 = \frac{1}{2} \).
- б) «Выпадет хотя бы один орёл», при условии, что в первый раз решка, — вероятность второго броска: \( P(\text{орёл во 2-м}| \text{решка в 1-м})= \frac{1}{2} \).
Вероятность «ни одного орла» — обе решки: \( \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \). Тогда вероятность хотя бы одного орла: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). - в) «Выпадут два орла»: \( P(\text{орёл во 2-м}| \text{решка в 1-м}) = \frac{1}{2} \).
102. При двукратном бросании игральной кости:
- сумма 8,Event — «в первый раз выпала 3»,
называется \( P(\text{3 в 1-м} | \text{сумма=8}) \). Зная, что сумма 8, возможные варианты: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2).
Вариант, где в первый раз 3 — (3,5), вероятность этого — 1 из 5 возможных; при условии суммы 8: вероятность \( \frac{1}{5} \).
103. Сумма 9:
- «в первый раз 5 очков» при сумме 9, варианты: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). Вероятность — 1 из 4, при условии суммы 9.
104. После того, как выпало 3 очка в первый раз,
- а) сумма равна 9: возможные варианты — (3,6) или (6,3); вероятность, что сумма 9, из всех вариантов с первым 3 — это (3,6); вероятность из всех возможных случаев с первым 3 — это 1/2.
- б) сумма больше 7: варианты (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), с равными вероятностями; вероятности: \( \frac{1}{4} \), а для суммы больше 7 это все кроме (3,6), (6,3), итого 2 варианта из 4, вероятность \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
- в) сумма больше 10: невозможно при броске двух костей, максимум — 12.
- г) сумма меньше 5: варианты (1,3), (2,2), (3,1), три варианта из 36 возможных, вероятность — \( \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \).
Если потребуется более детальное решение или разбор конкретных задач, я с радостью помогу!
