Рассмотрим задачу.
У нас есть:
- Первый день турист прошёл 9 км.
- Каждый следующий день он проходил больше, чем в предыдущий, и на одинаковое расстояние.
- Общее число дней — 10.
- Общая длина пути — 180 км.
- Нужно найти расстояние, пройденное в 4-й день.
Поскольку каждый день расстояние увеличивается на одинаковую сумму, это арифметическая прогрессия.
Обозначим:
- ( a_1 = 9 ) км — расстояние в первый день.
- ( d ) — разность между расстоянием в каждом следующем дне и предыдущим.
- Тогда расстояние в ( n )-й день: ( a_n = a_1 + (n-1)d ).
Общий путь за 10 дней:
[
S_{10} = \frac{10}{2} (a_1 + a_{10}) = 180
]
Стоит выразить ( a_{10} ):
[
a_{10} = a_1 + 9d
]
Подставим:
[
S_{10} = 5 (a_1 + a_{10}) = 180
]
[
5 (9 + (9d + 9)) = 180
]
Обратите внимание, что ошибочно было добавлено ( a_{10} ). Правильнее:
[
S_{10} = \frac{10}{2} (a_1 + a_{10}) = 180
]
[
5 (a_1 + a_{10}) = 180
]
Подставляем ( a_1 = 9 ):
[
5 (9 + a_{10}) = 180
]
[
9 + a_{10} = \frac{180}{5} = 36
]
[
a_{10} = 36 - 9 = 27
]
Теперь запишем ( a_{10} ) через ( a_1 ) и ( d ):
[
a_{10} = a_1 + 9d
]
[
27 = 9 + 9d
]
[
9d = 18
]
[
d = 2
]
Теперь найдём ( a_4 ), расстояние за 4-й день:
[
a_4 = a_1 + 3d = 9 + 3 \times 2 = 9 + 6 = 15
]
Ответ:
На четвертый день турист прошёл 15 км.
Если нужно, я могу дополнительно проверить сумму за 10 дней:
[
a_2 = 9 + 2 = 11
]
[
a_3 = 9 + 4 = 13
]
[
a_4 = 15
]
[
a_5 = 17
]
[
a_6 = 19
]
[
a_7 = 21
]
[
a_8 = 23
]
[
a_9 = 25
]
[
a_{10} = 27
]
Проверим сумму:
[
S_{10} = \frac{10}{2} (a_1 + a_{10}) = 5 (9 + 27) = 5 \times 36 = 180
]
что совпадает с условием.
Итог: 15 км — расстояние, пройденное в 4-й день.
