Задумали трехзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и едениц и полученное число вычли из задуманного. получили число 63. какое число было задуманно?

Давайте по шагам решим задачу. Обозначим задуманное трёхзначное число как \(ABC\), где: - \(A\) — сотни, - \(B\) — десятки, - \(C\) — единицы. Тогда число можно записать как: \[ 100A + 10B + C \] Из условия: 1. Число меньше 500: \[ 100A + 10B + C < 500 \] Так как число — трёхзначное, то \(A \geq 1\). Очевидно, что \(A \leq 4\), потому что при \(A=5\) число будет 500 или больше. 2. Число делится на 15: Число делится на 15, если оно делится на 3 и на 5. - Делится на 5: последняя цифра \(C\) должна быть 0 или 5. - Делится на 3: сумма цифр \(A + B + C\) должна быть кратна 3. 3. Потом меняют местами цифры в разрядах десятков и единиц: Новое число: \(A C B\): \[ 100A + 10C + B \] 4. Полученное число вычли из исходного: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 63 \] Преобразуем это выражение: \[ 100A + 10B + C - 100A - 10C - B = 63 \] Упростим: \[ (100A - 100A) + (10B - B) + (C - 10C) = 63 \] \[ 0 + 9B - 9C = 63 \] Вынесем 9 за скобки: \[ 9(B - C) = 63 \] Отсюда: \[ B - C = \frac{63}{9} = 7 \] Это означает: \[ B = C + 7 \] Теперь, поскольку \(B\) и \(C\) — цифры (от 0 до 9), и \(C\) — последняя цифра исходного числа, \(B = C + 7\): - Максимально возможное значение \(C\), чтобы \(B \leq 9\), \(C + 7 \leq 9 \Rightarrow C \leq 2\). Проверим возможные значения \(C\): - Если \(C=0\), тогда \(B=7\), - Если \(C=1\), тогда \(B=8\), - Если \(C=2\), тогда \(B=9\). Рассмотрим каждую ситуацию. **Ситуация 1:** \(C=0, B=7\) - Число делится на 5: последняя цифра \(C=0\), всё хорошо. - Сумма цифр: \(A + 7 + 0 = A + 7\) должна быть кратна 3. Поскольку \(A\) — цифра от 1 до 4 (так как число меньше 500): - Для \(A=1\): сумма \(1 + 7=8\), не делится на 3. - Для \(A=2\): сумма \(2 + 7=9\), делится на 3. - Для \(A=3\): сумма \(3 + 7=10\), не делится. - Для \(A=4\): сумма \(4+7=11\), не делится. Следовательно, подходящее \(A=2\). Тогда исходное число: \[ 100 \times 2 + 10 \times 7 + 0 = 200 + 70 + 0 = 270 \] Проверим: - Меньше 500? Да, 270. - Делится на 15? - На 5: последняя цифра 0 — да. - На 3: сумма цифр 2+7+0=9 — да, делится. - Проверим разность по условию: Новое число: \(A C B = 2\,0\,7\) — число 207. Вычитание: \(270 - 207 = 63\). Всё совпадает! --- **Ответ:** \(\boxed{270}\) Это число было задумано.