В параллелограмме авсd со сторонами, ав=4 и вс=3 и диагональю ас= 6 найдите длину вектора AD-BC

Давайте решим задачу подробно и ясно. **Задача:** В параллелограмме ABCD со сторонами AB=4, BC=3 и диагональю AC=6 найти длину вектора AD−BC. --- ### Шаг 1: Вспомним свойства параллелограмма - Противоположные стороны равны и параллельны: \(AB \parallel DC,\quad AD \parallel BC\). - Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам: \(AC = BD\) и точка пересечения — точка деления диагоналей пополам. --- ### Шаг 2: Вводим координаты для упрощения решения Пусть: - точка \(A\) находится в начале координат: \(A = (0,0)\), - сторону \(AB\) направим по оси x, тогда \(B = (4,0)\), - точку \(D\) выберем так, чтобы получить стороны и диагональ, учитывая свойства параллелограмма. Обозначим точку \(D = (x,y)\). Тогда: - \(C\) — противоположная вершина, которая соединяется с \(B\) и \(D\). Так как \(AB \parallel DC\), то вектор \(\overrightarrow{AB} = (4,0)\), а \(\overrightarrow{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D)\). --- ### Шаг 3: Используем размеры сторон - длина \(AB = 4\). - длинна \(BC=3\). Вектор \(B \to C\): \[ C = B + \vec{BC} = (4 + \Delta x, 0 + \Delta y), \] где \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = 3\). --- ### Шаг 4: Диагональ \(AC = 6\) - \(A = (0,0)\), - \(C = (x_C, y_C)\), - поэтому, \(\sqrt{x_C^2 + y_C^2} = 6\). Также, так как \(C\) — вершина, противоположная \(A\): - \(C = A + \vec{AC} = (x_C, y_C)\). Рассмотрим треугольники и свойства параллелограмма: - Вектор \(A \to C\) равен сумме векторов \(A \to B + B \to C\). --- ### Шаг 5: Используем координаты и свойства диагоналей В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому: \[ \text{точка пересечения } O = \frac{A + C}{2} = \frac{B + D}{2} \] Это дает равенство: \[ \frac{(0,0) + (x_C, y_C)}{2} = \frac{(4,0) + (x_D, y_D)}{2} \] Следовательно, \[ (x_C, y_C) = (4 + x_D, y_D) \] --- ### Шаг 6: Вводим дополнительные уравнения Из условия: \(AC = 6\) \[ x_C^2 + y_C^2 = 36 \] Но из соотношения между точками: \[ x_C = 4 + x_D, \quad y_C = y_D \] Подставим: \[ (4 + x_D)^2 + y_D^2 = 36 \] Также, длина стороны \(BC=3\): \[ (x_C - 4)^2 + (y_C - 0)^2 = 9 \] Подставим \(x_C = 4 + x_D, y_C = y_D\): \[ x_D^2 + y_D^2 = 9 \] И это очень важно! --- ### Шаг 7: Решение системы Рассмотрим систему: \[ \begin{cases} (4 + x_D)^2 + y_D^2 = 36 \\ x_D^2 + y_D^2 = 9 \end{cases} \] Вычтем второе уравнение из первого: \[ (4 + x_D)^2 - x_D^2 = 36 - 9 = 27 \] Раскроем скобки: \[ (4 + x_D)^2 = x_D^2 + 8x_D + 16 \] Тогда: \[ x_D^2 + 8x_D + 16 - x_D^2 = 27 \] \[ 8x_D + 16 = 27 \] \[ 8x_D = 11 \] \[ x_D = \frac{11}{8} \] Теперь найдем \(y_D\): Из \(x_D^2 + y_D^2 = 9\): \[ \left(\frac{11}{8}\right)^2 + y_D^2 = 9 \] \[ \frac{121}{64} + y_D^2 = 9 \] \[ y_D^2 = 9 - \frac{121}{64} = \frac{576}{64} - \frac{121}{64} = \frac{455}{64} \] \[ y_D = \pm \frac{\sqrt{455}}{8} \] --- ### Шаг 8: Найти \(A D - B C\) - \(A D = \vec{A D} = (x_D, y_D)\), - \(B C = \vec{B C} = (x_C - 4, y_C - 0)\). Но \(x_C = 4 + x_D\), \(y_C = y_D\): \[ \vec{B C} = (4 + x_D - 4, y_D - 0) = (x_D, y_D). \] Значит, \[ \vec{A D} - \vec{B C} = (x_D, y_D) - (x_D, y_D) = (0,0). \] **Ответ:** длина этого вектора равна 0. --- ## Итог: **Длина вектора \(AD - BC\) равна 0.** --- Если нужно более развёрнутое объяснение — обращайтесь!