Известно, что средний диаметр подшипника равен 15 мм, а стандартное отклонение от среднего диаметра равно 0,2 мм. При помощи неравенства Чебышева оцените вероятность события…

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что диаметр подшипника отличается от среднего более чем на 0,5 мм.

Дано:

• Средний диаметр, \(\mu = 15\, \text{мм}\)
• Стандартное отклонение, \(\sigma = 0,2\, \text{мм}\)
• Объект оценки: события, когда диаметр отличается более чем на 0,5 мм от среднего, то есть: \[ P(|X - \mu| > 0,5\, \text{мм}) \]

Шаг 1: Определение отклонения в терминах стандартных отклонений

Рассчитаем, на сколько стандартных отклонений равняется 0,5 мм.

\[ k = \frac{\text{разница}}{\sigma} = \frac{0,5\, \text{мм}}{0,2\, \text{мм}} = 2,5 \]

Это означает, что рассматриваемое отклонение более чем на 2,5 стандартных отклонения от среднего.

Шаг 2: Использование неравенства Чебышева

Неравенство Чебышева даёт оценку:

\[ P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

где:

• \(k\) — число стандартных отклонений,
• \(P(|X - \mu| \geq k \sigma)\) — вероятность, что отклонение более чем на \(k\) стандартных отклонений.

Подставляем значение \(k = 2,5\):

\[ P(|X - \mu| > 0,5\, \text{мм}) \leq \frac{1}{(2,5)^2} = \frac{1}{6.25} = 0,16 \]

Итог:

Оценка вероятности того, что диаметр случайно выбранного подшипника отклонится от среднего более чем на 0,5 мм, составляет не более 16%.

Важное замечание:

Это — верхняя граница вероятности по неравенству Чебышева. Реальная вероятность может быть значительно меньше, особенно если распределение не очень "толстое" на краях.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более точное решение, скажите!