Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что диаметр подшипника отличается от среднего более чем на 0,5 мм.
Дано:
- Средний диаметр, (\mu = 15, \text{мм})
- Стандартное отклонение, (\sigma = 0,2, \text{мм})
- Объект оценки: события, когда диаметр отличается более чем на 0,5 мм от среднего, то есть:
[
P(|X - \mu| > 0,5, \text{мм})
]
Шаг 1: Определение отклонения в терминах стандартных отклонений
Рассчитаем, на сколько стандартных отклонений равняется 0,5 мм.
[
k = \frac{\text{разница}}{\sigma} = \frac{0,5, \text{мм}}{0,2, \text{мм}} = 2,5
]
Это означает, что рассматриваемое отклонение более чем на 2,5 стандартных отклонения от среднего.
Шаг 2: Использование неравенства Чебышева
Неравенство Чебышева даёт оценку:
[
P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
где:
- (k) — число стандартных отклонений,
- (P(|X - \mu| \geq k \sigma)) — вероятность, что отклонение более чем на (k) стандартных отклонений.
Подставляем значение (k = 2,5):
[
P(|X - \mu| > 0,5, \text{мм}) \leq \frac{1}{(2,5)^2} = \frac{1}{6.25} = 0,16
]
Итог:
Оценка вероятности того, что диаметр случайно выбранного подшипника отклонится от среднего более чем на 0,5 мм, составляет не более 16%.
Важное замечание:
Это — верхняя граница вероятности по неравенству Чебышева. Реальная вероятность может быть значительно меньше, особенно если распределение не очень "толстое" на краях.
Если есть дополнительные вопросы или нужно более точное решение, скажите!
