Решить

Рассмотрим задание:
\[ \sqrt{77} \cdot \sqrt{63} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{8} \]

Шаг 1. Объединим все подкоренные выражения в один корень: \[ \sqrt{77 \times 63 \times 22 \times 8} \]

Шаг 2. Найдём произведение чисел внутри корня. Но сначала упростим каждое число через разложение на простые множители:

• \(77 = 7 \times 11\)
• \(63 = 7 \times 9 = 7 \times 3^2\)
• \(22 = 2 \times 11\)
• \(8 = 2^3\)

Теперь умножим все вместе: \[ (7 \times 11) \times (7 \times 3^2) \times (2 \times 11) \times (2^3) \]

Раскладываем и группируем похожие множители: \[ 7 \times 11 \times 7 \times 3^2 \times 2 \times 11 \times 2^3 \]

Объединяем одинаковые множители:

• \(7 \times 7 = 7^2\)
• \(11 \times 11 = 11^2\)
• \(2 \times 2^3 = 2^{1+3} = 2^4\)
• Остальная — это \(3^2\)

Итак, весь подкоренной множитель: \[ 7^2 \times 11^2 \times 3^2 \times 2^4 \]

Шаг 3. Вынесем из-под корня квадраты и четные степени: \[ \sqrt{7^2 \times 11^2 \times 3^2 \times 2^4} = 7 \times 11 \times 3 \times 2^2 \] Так как:

• \(\sqrt{7^2} = 7\)
• \(\sqrt{11^2} = 11\)
• \(\sqrt{3^2} = 3\)
• \(\sqrt{2^4} = 2^2 = 4\)

Шаг 4. Перемножим эти числа: \[ 7 \times 11 \times 3 \times 4 \]

Выполняем умножения по порядку:

• \(7 \times 11 = 77\)
• \(77 \times 3 = 231\)
• \(231 \times 4 = 924\)

Ответ: \(\boxed{924}\)

Если есть ещё вопросы или нужно подробнее объяснить — скажите!