Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача:
Дан параллелепипед, у которого три взаимно перпендикулярных грани (стороны) имеют площади:
- Первая граня: ( S_1 = 1,м^2 )
- Вторая граня: ( S_2 = 2,м^2 )
- Третья граня: ( S_3 = 3,м^2 )
Требуется найти полную поверхность этого параллелепипеда.
Шаг 1: Обозначим стороны параллелепипеда
Пусть длины рёбер, соответствующие трём граням, равны ( a ), ( b ), и ( c ).
Тогда площади граней выражаются как:
[
S_1 = a b, \quad S_2 = a c, \quad S_3 = b c
]
Из условий задачи:
[
a b = 1 \quad (1)
]
[
a c = 2 \quad (2)
]
[
b c = 3 \quad (3)
]
Шаг 2: Найдём длины сторон ( a ), ( b ), ( c )
Выразим ( a ), ( b ), ( c ) через известные площади:
Из уравнений (1) и (2):
[
a b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{a}
]
[
a c = 2 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{2}{a}
]
Используем уравнение (3):
[
b c = 3
]
Подставляем выражения для ( b ) и ( c ):
[
\left(\frac{1}{a}\right) \times \left(\frac{2}{a}\right) = 3
]
[
\frac{2}{a^2} = 3
]
[
a^2 = \frac{2}{3}
]
[
a = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
]
Теперь найдём ( b ) и ( c ):
[
b = \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}
]
[
c = \frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}
]
Шаг 3: Находим площадь всех граней и полную площадь поверхности
Площадь поверхности — это сумма площадей всех 6 граней, каждая пара одинаковая:
[
S_{total} = 2 \times (a b + a c + b c)
]
Подставим найденные значения:
[
a b = 1
]
[
a c = 2
]
[
b c = 3
]
Тогда:
[
S_{total} = 2 \times (1 + 2 + 3) = 2 \times 6 = 12 , м^2
]
Ответ:
Полная площадь поверхности параллелепипеда равна 12 м².
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с похожими задачами — пишите!
