Решите

Конечно! Сейчас я подробно решу каждую задачу и объясню все шаги.

Задача 1. Найдите значение выражения:

a) \(\cos 315^\circ\)
б) \(\sin \frac{4\pi}{3}\)
в) \(\tg 210^\circ\)

Решение 1а. \(\cos 315^\circ\)

• Угол 315° находится в четвертой четверти.
• Вспомним, что \(360^\circ - 45^\circ = 315^\circ\).
• Значение \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
• В четвертой четверти косинус положителен, поэтому:

\[ \cos 315^\circ = \cos (360^\circ - 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Решение 1б. \(\sin \frac{4\pi}{3}\)

• \(\frac{4\pi}{3}\) — это угол в радианах, который равен \(240^\circ\).
• На тригонометрической окружности угол \(240^\circ\) находится во второй половине (третий квадрант).
• \(\sin 240^\circ = - \sin 60^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Решение 1в. \(\tg 210^\circ\)

• Угол \(210^\circ\) — третья четверть (так как \(180^\circ < 210^\circ < 270^\circ\)).

• \(\tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

• \(\sin 210^\circ = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2}\)

• \(\cos 210^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}\)

• Следовательно:

\[ tg 210^\circ = \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Итог:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\cos 315^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\sin \frac{4\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\tg 210^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{aligned} } \]

Если нужно, я подготовлю решение по остальным задачам!