Реши с фото
Дано:
- В треугольнике ABC угол C равен 120°.
- AB = 18√3. Задача: найти радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Шаг 1: Построение и обозначения
Обозначим:
- \( R \) — радиус описанной окружности;
- \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \) — стороны треугольника, причем \( c = AB = 18\sqrt{3} \);
- \( \angle C = 120^\circ \).
Шаг 2: Используем формулу для стороны \( c \)
Вводим координатную модель для удобства:
- Пусть точка \( A \) находится в начале \( (0,0) \),
- \( B \) — на оси x в точке \( (18\sqrt{3}, 0) \).
Так как \( \angle C = 120^\circ \), то \( C \) может иметь координаты: \[ C = (x, y), \] жестко связаны с \( A \) и \( B \).
Шаг 3: Использование свойства угла
Легко видно, что стороны \( AC \) и \( BC \) — это расстояния от точки \( C \) до \( A \), \( B \).
Известно, что угол \( C = 120^\circ \) — это угол между сторонами \( AC \) и \( BC \).
Шаг 4: Вершина \( C \) в координатах
Обозначим:
- \( C = (x, y) \).
Тогда:
- \( |AC| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \),
- \( |BC| = \sqrt{(x - 18\sqrt{3})^2 + y^2} \).
Также у нас есть угол между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{BC} \) равен 120°, что дает:
\[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AC}| |\vec{BC}|} \]
где: \[ \vec{AC} = (x, y), \] \[ \vec{BC} = (x - 18\sqrt{3}, y). \]
Подарим: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BC} = x(x - 18\sqrt{3}) + y \cdot y = x^2 - 18\sqrt{3} x + y^2, \]
Следовательно:
\[ -\frac{1}{2} = \frac{x^2 - 18\sqrt{3} x + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{(x - 18\sqrt{3})^2 + y^2}}. \]
Шаг 5: Использование радиуса окружности
Радиус (описанной окружности) связан со сторонами через формулу:
\[ R = \frac{abc}{4S}, \] где \( S \) — площадь треугольника.
Но проще использовать формулу:
\[ R = \frac{c}{2 \sin \angle C}. \]
Так как \( c = 18 \sqrt{3} \), и \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ R = \frac{18 \sqrt{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18. \]
Ответ: радиус описанной окружности равен:
\[ \boxed{18} \]
Если что-то не очевидно — могу дополнительно пояснить или вывести более подробно.
